Ejercicios de matemática

Resolución de ecuaciones

Una ecuación puede compararse con una balanza de platillos. Para mantener el perfecto equilibrio es necesario tener la misma masa en ambos lados. Si se aumenta la masa en el platillo de la izquierda, la balanza se inclinará hacia la izquierda, por lo tanto, para mantenerla equilibrada será necesario aumentar a la derecha la misma cantidad de masa.
Si, por elcontrario, la masa disminuye, también habrá que disminuir la misma cantidad de masa en el otro platillo de la balanza.
Este ejemplo aplicado a una ecuación indica que si se agrega (suma) un número a la derecha, también es necesario sumar el mismo número a la izquierda para mantener la igualdad y si se resta, debe hacerse lo mismo a ambos lados. Lo mismo ocurre al multiplicar o dividir (Ver:Propiedades).
Debemos saber que existen ecuaciones de dos tipos: ecuaciones aditivas y ecuaciones multiplicativas.
•Las ecuaciones aditivas tienen la forma a + x = b
•Las ecuaciones multiplicativas tienen la forma a • x = b
1) Ecuaciones aditivas: a + x = b
Para resolver ecuaciones de la forma a + x = b se utiliza la Propiedad 1 antes mencionada; es decir, se usa lapropiedad de las igualdades, que textualmente dice:

Cuando se suma o resta el mismo número en ambos miembros de una ecuación, la igualdad se mantiene.

Los pasos a seguir para encontrar la incógnita son los siguientes:
1. Se suma a ambos lados de la ecuación el inverso aditivo del número que suma o resta a la incógnita. Recordar que el inverso aditivo de un número es el mismo número consigno contrario (el inverso aditivo de 6 es –6; el inverso aditivo de –99 es 99. Recuerda además que +99 es lo mismo que 99).
2. Se realiza la operación indicada.
Ejemplo: 28 + x = 13 / –28
El número que acompaña a la incógnita sumándolo es 28, por lo tanto, se debe agregar a ambos lados de la ecuación su inverso aditivo que es –28.
28 + x + –28 = 13 +–28
Como 28 y –28 tienen signo contrario entre sí, la regla de signos indica que deben restarse.
28 + –28 = 0
Como 13 y –28 son números de distinto signo, éstos se restan y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto (el número sin signo).
13 + –28 = –15
Por lo tanto, después de realizar las operaciones indicadas más arriba, se tiene que:28 + x = 13 / –28
28 + x +–28= 13 + –28
x + 0 = –15
x = –15
Otros ejemplos:
1) 60 – 37 = 84 + x
23 = 84 + x / –84
23 + –84 = 84 + x + –84
–61 = 0 + x
x = –612) x + 3 – 2 = 7
x + 1 = 7
x + 1 + –1 = 7 + -1 / –1
x + 0 = 6
x = 6
2) Ecuaciones multiplicativas: a • x = b
Para resolver ecuaciones de la forma a • x = b se aplica la propiedad de las igualdades, que dice textualmente:

Si semultiplica o divide por un mismo número a ambos lados de la igualdad, ésta se mantiene.

Cuando se tiene una ecuación de esta forma, en la cual un número se halla multiplicando a la incógnita, se debe dividir a ambos lados de la ecuación por dicho número.
Los pasos son los siguientes:
1) Se divide siempre por el número que multiplica a la “x”. (Al dividir se utiliza el inversomultiplicativo del número).
Ejemplo: 15 • x = 75 / :15 (es lo mismo que multiplicar ambos miembros por 1/15, que es el inverso multiplicativo de 15)
15 • x : 15 = 75 : 15
2) Se realizan las operaciones matemáticas correspondientes.
Reordenado los números se tiene: 15 : 15 • x = 75 : 15
1 • x = 5...