ejercicios de muestreo

Tema 1

Ejercicios resueltos de
Muestreo
Ejercicio 1 Sea una población …nita de 4 elementos: P = f3; 4; 1; 2g : Se
consideran muestras de 3 elementos que se suponen extraidos y no devueltos a
la población y que el muestreo es aleatorio simple. Las muestras se consideran
distintas si se diferencian en algún elemento. Se pide: 1) Escribir todas las
muestras posibles 2) Calcular laprobabilidad de cada muestra. 3) Calcula la
media, ; la varianza, 2 de la población. 4) Calcula la media, x; la varianza,
S 2 ; y la cuasivarianza, s2c de cada muestra. 5) Describe las funciones de
probabilidad de estos estadísticos. 6) Calcula la esperanza E(x); y decide
si x es un estimador centrado o insesgado de la media de la población 7)
Calcula la esperanza S 2 ;y de s2c y decide si alguno deestos estadísticos son
estimadores centrados o insesgados de la varianza de la población. 8) Cálcula
la varianza de x: 9) Comprueba la concordancia de los valores obtenidos en
los anteriores apartados con los resultados teóricos.
1. Las muestras posibles son f3; 4; 1g ; f3; 4; 2g ; f3; 1; 2g ; f4; 1; 2g :
2. La probabilidad de extración de cada una de estas muestra es

1
4

0:25
3. Lamedia de P = f3; 4; 1; 2g es

= 2:5 y su varianza es

2

=

1

(43)

=

= 1:25

4. Las medias varianzas y cuasivarianzas de cada una de estas muestras
están dadas en la tabla siguiente:
muestra
f3; 4; 1g
f3; 4; 2g
f3; 1; 2g
f4; 1; 2g

media,x
2:b
6
3
2
2:b
3

Varianza, S2
1.b
5
0.b
6
b
0.6
1.b
5
1

cuasivarianza,s2c
2.b
3
1
1
2.b
3

2

TEMA 1.EJERCICIOS RESUELTOS DE MUESTREO
5. La función de probabilidad de la medias de la muestra es la siguiente:
x
Probabilidad
b
2:6 1/4
3
1/4
2
1/4
2:b
3 1/4
S2
5
La función de probabilidad de la varianza de la muestra es: 1.b
0.b
6
La función de probabilidad de la cuasivarianza
s2c
cuasivarianza
2.b
3 1/2
1
1/2

cuasivarianza
1/2
1/2

de la muestra es:

6. La esperanza dela media de las muestra, teniendo en cuenta su función
de probabilidad es.
E(x) = 2:666667

1
4

+3

1
4

+2

1
4

+ 2:333333

1
4

= 2: 5 = :

por tanto x es un estimador insesgado de la media poblacional :
7. La esperanza de la varianza de la muestra, teniendo en cuenta su función
de probabilidad es.
E(S 2 ) = 1:5555556

1
2

+ 0:6666667

1
2

= 1: 111 1La esperanza de la cuasivarianza de la muestra, teniendo en cuenta su
función de probabilidad es.
E(s2c ) = 2:3333333

1
2

+1

1
2

= 1: 666 667

Ninguna de estas esperanzas coincide con la poblacional, 2 = 1:25;
así que ninguno de estos estadísticos son estimadores centrados de la
varianza de la población.
8. La varianza de la media muestral es:
V ar(x) = E(x) = 2:66666720:138 89

1
2
4 +3

1
2
4 +2

1
2
4 +2:333333

1
4

2:52 =

9. En el caso del muestreo aleatorio simple sin reemplazamiento se cumple:
a) La esperanza de la media muestral es la media poblacional, tal como
se ha puesto de mani…esto en el apartado 6)
b) E(s2c ) = 2 NN 1 = 1:25 34 = 1: 666 7; así que ahora la cuasivarianza de la muestra es un estimador insesgado de la cuasivarianzade la
población, coincidiendo con el resultado del apartado 7)

3
Por otra parte:
E(S 2 ) = E(s2c nn 1 ) = E(s2c ) nn 1 =

2 N n 1
N 1 n

= 1: 666 7

2
3

= 1: 111 1

coincidiendo con el valor obtenido en el primer cálculo del apartado 7).
2

n 1
1:25
2
c) V ar(x) = n (1
N 1 ) = 3 (1
3 ) = 0:138 89 que es el valor
obtenido para la varianza de la media muestral en elapartado 8).

Ejercicio 2 Considerando en la población P = f3; 4; 1; 2g ya dada en el
problema 1, se realiza un cierto tipo de muestreo en el que las únicas muestras posibles son f3; 4; 1g y f4; 1; 2g ; con la distribución de probabilidad y
características indicada en la siguiente tabla
muestra
f3; 4; 1g
f4; 1; 2g

Probabilidad
0.3
0.7

media,x
2:b
6
2:b
3

Varianza, S2
1.b
5...