Ejercicios de Multicolinealidad

MULTICOLINEALIDAD1



Ing. Lorenzo Castro Gómez2


El supuesto 10 del modelo clásico de regresión lineal (MCRL) plantea que no existe multicolinealidad entre los regresores incluidos en el modelo de regresión, los supuestos 7 y 8 son complementarios al supuesto de multicolinealidad. El supuesto 7, especifica que el número de observaciones debe superar al número de regresores (el tema demuestras pequeñas y el supuesto 8, que debe haber suficiente variabilidad en los valores de los regresores. En este tema consideramos en forma critica el supuesto de no multicolinealidad buscando respuestas a las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es la naturaleza de la multicolinealidad?
2. ¿Es la multicolinealidad realmente un problema?
3. ¿Cuáles son sus consecuencias prácticas?
4. ¿Cómo sedetecta?
5. ¿Qué medidas remédiales pueden tomarse para aliviar el problema de multicolinealidad?

También mostraremos la forma como los supuestos 7 y 8 se ajustan con el supuesto de no multicolinealidad.


1. NATURALEZA DE LA MULTICOLINEALIDAD


Originalmente este término se refería a una relación lineal "perfecta" o exacta entre algunas de las variables explicativas de un modelo deregresión. Si las X son las variables explicativas y se cumple que 1 x1 + 2x2 + 3x3 +… +kxk = 0. Para no todos las s = 0.

Ejemplo de colinealidad perfecta
1x1 + 2x2 + 3x3 = 0 implica que x2 = - (1 / 2) x1 - (3 / 2) x3. La colinealidad puede no ser tan perfecta, se tiene; 1x1 + 2x2+ 3x3 + v = 0;
implica que x2 = - (1 / 2) x1 - (3/2) x3 - (v/2 )
Como ejemplo numérico,considérese la siguiente información hipotética:
Ejemplo 1.









X2
X3
X*3
10
50
52
15
75
75
18
90
97
24
120
129
30
150
152



La tercera columna se incrementó con números que se obtuvieron de una tabla aleatoria.
Note que x3 = 5x2, el coeficiente de correlación entre x2 y x3 es igual a + 1 (colinealidad perfecta), y la correlación entre x2 y x3 es de 0.9959 "casiperfecta3".

Ejemplo 2: Sea el siguiente modelo de regresión

Y = 1x1 + 2x2 + 

Si a priori determinamos que x2 = 2x1
Y = 1 x1 + 2 (2x1 ) + 
Y = (1 + 22 ) x1 + 
Entonces solo 1 + 22 será  estimable. No es posible obtener estimadores separados de 1 y 2 en este caso se dice que existe una multicolinelidad perfecta ya que x1 y x2 correlacionadas r2 12 = 1, en la practica r2 no es1,
pero tiene un valor muy próximo. Sean los siguientes datos hipotéticos.

S11 = 200 S1y = 350
S12 = 150 S2y = 263
S22 = 113

Las ecuaciones normales son:

2001 + 1502 = 350
1501 + 1132 = 253
Los estimadores son: 1 = 1, 2 = 1. Sí se elimina una observación se tiene:

S11 = 199 S1y = 347.5
S12 = 149 S1y = 261.5
S22 = 112

Las ecuaciones normalesson:

1991 + 1492 = 347.5
1491, + 1122 = 261.5

los estimadores: 1 = - 1/2, 2 = 3

Nota: variaciones muy pequeñas en la varianzas y las covarianzas producen cambios drásticos en los estimadores de los parámetros. Se sabe que r2 12 = (150)2 / 200(113) = 0.995. La inclusión o eliminación de observaciones produce cambios en las varianzas y las covarianzas, esta es unaconsecuencia de la multicolinealidad.


Gráfico de Ballentine de multicolinealidad.

La multicolinealidad es perfecta sí los coeficientes de regresión de las variables x son indeterminados y sus errores estándares infinitos. Sí la multicolinealidad es menos que perfecta los coeficientes de regresión aunque determinados poseen-grandes errores estándares (en relación con los propios coeficientes) locual significa que no se pueden estimar con gran precisión. Si la multicolinealidad es perfecta suceden dos cosas a) No se pueden estimar los parámetros y b) Las varianzas de los parámetros son infinitos las otras variables explicativas, una manera de averiguar cual variable x esta relacionada con otras x variables consiste en realizar una regresión de cada x con las restantes x y luego calcular...