Ejercicios de productos y cocientes notables

Productos Notables

Ejercicios de productos y cocientes notables

www.math.com.mx
José de Jesús Angel Angel
jjaa@math.com.mx

MathCon c 2007-2008

Contenido

1. Introducción

2

2. El cuadrado de una suma (a + b)2

3

3. El cuadrado de una diferencia (a − b)2

6

4. Producto de la forma (a + b)(a − b)

8

5. Cubo de un binomio (a ± b)3

12

6. Producto de la forma(mx + a)(nx + b)

13

a2 − b2
a±b
a3 ± b3
7.1. Cocientes de la forma
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a±b
3
a + b3
7.1.1. Cocientes de la forma
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a+b
3
3
a −b
7.1.2. Cocientes de la forma
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a−b

7. Cocientes de la forma

14
14
14
14Introducción
Al efectuar algunos productos de polinomios, existen varios que son comúnmente usados, a estos
productos se les conoce como productos notables.
Algunos productos y cocientes notables .
1. El cuadrado de una suma (a + b)2 .
2. El cuadrado de una diferencia (a − b)2 .
3. El producto de una suma por una diferencia (a + b)(a − b).
4. El cubo de un binomio (a ± b)3 .
5. El productode la forma (mx + a)(nx + b).
6. El cociente de la forma

a2 − b2
.
a±b

7. El cociente de la forma

a3 ± b3
.
a±b

1

El cuadrado de una suma (a + b)2
Puede aprenderse la regla de esta operación como: el cuadrado de la suma de dos términos, es el
cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
1. (m +5)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(m + 5)2

=

(m)2 + 2(m)(5) + (5)2

Paso 2 Efectuando operaciones.
(m + 5)2

= m2 + 10m + 25

2. (9 + 4m)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(9 + 4m)2

=

92 + 2(9)(4m) + (4m)2

Paso 2 Efectuando operaciones.
(9 + 4m)2

= 81 + 72m + 16m2

3. (2x + 3y)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(2x + 3y)2

= (2x)2 +2(2x)(3y) + (3y)2

2

2. El cuadrado de una suma (a + b)2

4

Paso 2 Efectuando operaciones.
(2x + 3y)2

= 4x2 + 12xy + 9y 2

4. (3a3 + 8b4 )2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(3a3 + 8b4 )2

=

(3a3 )2 + 2(3a3 )(8b4 ) + (8b4 )2

Paso 2 Efectuando operaciones.
(2x + 3y)2

= 9a6 + (2)(3)(8)a3 b4 + 64b8
= 9a6 + 48a3 b4 + 64b8

5. (4m5 + 5n6 )2
Paso 1 Usando lafórmula para este caso.
(4m5 + 5n6 )2

=

(4m5 )2 + 2(4m5 )(5n6 ) + (5n6 )2

Paso 2 Efectuando operaciones.
(4m5 + 5n6 )2

= 16m10 + (2)(4)(5)m5 n6 + 25n12
= 16m10 + 40m5 n6 + 25n12

6. (8x2 y + 9m3 )2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(8x2 y + 9m3 )2

= (8x2 y)2 + 2(8x2 y)(9m3 ) + (9m3 )2

Paso 2 Efectuando operaciones.
(8x2 y + 9m3 )2

= 64x4 y 2 + (2)(8)(9)xy m3 + 81m6
=64x4 y 2 + 144xy m3 + 81m6

7. (am + an )2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(am + an )2

=

(am )2 + 2(am )(an ) + (an )2

2. El cuadrado de una suma (a + b)2

5

Paso 2 Efectuando operaciones.
(am + an )2

=

a2m + 2am+n + a2n

8. (am + an )2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(am + an )2

=

(am )2 + 2(am )(an ) + (an )2

Paso 2 Efectuando operaciones.(am + an )2

=

a2m + 2am+n + a2n

El cuadrado de una diferencia (a − b)2
Puede aprenderse la regla de esta operación como: el cuadrado de la suma de dos términos, es el
cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término.
(a + b)2 = a2 − 2ab + b2
1. (2a − 3b)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(2a − 3b)2

=

(2a)2 −2(2a)(3b) + (3b)2

Paso 2 Efectuando operaciones.
(2a − 3b)2

= 4a2 − 12ab + 9b2

2. (3a4 − 5b2 )2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(3a4 − 5b2 )2

=

(3a4 )2 − 2(3a4 )(5b2 ) + (5b2 )2

Paso 2 Efectuando operaciones.
(3a4 − 5b2 )2

= 9a8 − (2)(3)(5)a4 b2 + 25b4
= 9a8 − 30a4 b2 + 25b4

3. (10x3 − 9xy 5 )2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(10x3 − 9xy 5 )2

=...