Ejercicios Derivadas

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Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

5. EJERCICIOS PROPUESTOS
A continuación se presentan los ejercicios propuestos de los capítulos anteriores.

5.1 EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO 1
1. Estime el volumen del sólido que se encuentra debajo de la superficie definida por la ecuación

x + y + z = a y sobre el rectángulo D = [ 0 ,a ] × [ 0 ,a ] , donde a ∈subcuadrados iguales y tomando como punto de muestra: a. Al punto medio de cada subcuadrado. b. Al extremo superior derecho de cada subcuadrado.

+

, considerando una partición de 9

2. Estime el volumen del sólido acotado superiormente por la superficie z = 16 − x 2 − y 2 e inferiormente por el cuadrado D = [ −2 , 2 ] × [ −2 , 2] , tomando como punto de muestra al centro de cadasubrectángulo y considerando: a. n = 4 y m = 2 3. Resuelva la integral iterada a. f ( x, y ) = a − x − y c. f ( x, y ) = 2 x − y y b. n = 6 y m = 3

∫∫ f ( x, y ) dA , donde:
D

y

D = [ 0 ,a ] × [ 0 ,a ]

b. f ( x, y ) = 16 − x 2 − y 2 d.

y

D = [ −2 , 2 ] × [ −2 , 2 ]

D = [ 0 , 2] × [ 0 ,1]
 2 D =  0 ,  × [1,5]  3

f ( x, y ) = x 2 +
2

y y D = [ −4 ,3] × [ −2 , −1] 2
2

e.f ( x, y ) = ( 2 x + 3 ) y y

f. f ( x, y ) = x + y y

D = [ 0 ,1] × [ 0 ,1]

4. Calcule la integral doble

∫∫ f ( x, y ) dxdy , y plantee la integral iterada en el orden de integración
D

inverso. Además, dibuje la región a. f ( x, y ) = 2 x − y y b. f ( x, y ) = x + y y c. f ( x, y ) = xy y

D , donde:
1≤ x ≤ 4 ∧ 0 ≤ y ≤ x

D=

{( x, y )

}

D=

{( x, y )

0 ≤ x ≤1 ∧ 0≤ y ≤ x

} }

D=

{( x, y )

y ≤ x ≤ y +1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

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d.

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 2 

3 f ( x, y ) = x + ( 2 y + 3) y D = ( x, y ) 0 ≤ x ≤ 4 ∧ x ≤ y ≤ 4 x   
3

e. f ( x, y ) = 2 x − y f. f ( x, y ) = e
− xy

y

D=

{( x, y )

0 ≤ x ≤1 ∧ y≥0 ∧

x2 ≤ y ≤ 4 x}
} }
y ≥ 6 − 3x

y
2

D=
y
3

{( x, y )
D= D=

x≥0 ∧

x2 + y 2 ≤ 1

g. f ( x, y ) = x + y
2 2

{( x, y )

y≥0 ∧

x2 + y 2 ≥ 1 ∧ ∧ y≥0 ∧

x2 + y 2 − 2 x ≤ 0

h. f ( x, y ) = x + 2 y

y

{( x, y )

y ≤ 4x − x2 y≤x ∧

}

i. f ( x, y ) = x + y y j f ( x, y ) = xe h. f ( x, y ) =
3

D=

{( x, y )

y ≥ x2 − 4

}
y≥ x

y2

y

D=

{( x, y )x≥0 ∧

x2 ≤ y ≤ 9

} }
 2 1,  2 1 ,  − ,−   ,   3 3  3 3

x + y + 2 y D = {( x, y )

y ≤ 3 − x2 − 2x ∧

5.

Calcule la integral doble
 4 1  y ( 0,−1) .  ,   3 3

∫∫

D

xdxdy , siendo D el paralelogramo de vértices:

6.

Calcule la integral doble

x2 ∫∫D x 2 + y 2 dxdy , siendo D el triángulo cuyos lados están definidos por

las rectas y = x , y = − x y x= 1 .

7.

Calcule la integral doble

∫∫ ( x − y )
D

2

sen 2 ( x + y ) dxdy , siendo D el triángulo cuyos vértices son:

( 0,π ) , ( 2π ,π ) y (π , 2π ) .

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

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5.2 EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO 2
1 2

1. Calcule

∫∫∫ ( x + y + z + 2 )
B

−dxdydz donde B = [ 0 , 2] × [ 0 ,1] × [ −1,3] .

2. Calcule

∫∫∫

2 2 2 zdxdydz donde B = ( x, y,z ) x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ z ≥ 0 ∧ x 2 + y2 + z 2 ≤ 1 .   B



a

b

c



3. Calcule

∫∫∫ ( x + y )dxdydz
B
2

donde B =

{( x, y,z )

4 ( x 2 + y 2 ) ≤ z ≤ 16 .

}

4. Calcule

∫∫∫ ( 3x − y )dxdydz donde B = {( x, y,z )
B

y 2 ≤ z ≤ 4 − x2 − y 2 .

}

5.Calcule

∫∫∫

B

dxdydz donde B = {( x, y,z )

x2 + y2 ≤ 2x ∧ 0 ≤ z ≤ y 2 .

}

6. Calcule

∫∫∫

B

x + yz dxdydz donde B es el sólido limitado por las superficies: y = x , 2
x2 + y2 ≤ 2x ∧ 0 ≤ z ≤ y 2 .

y = 2 x , B = {( x, y,z )
7. Calcule

}

∫∫∫

B

x 2 yz 3 dxdydz donde B es el sólido limitado por las superficies: y 2 = 2 x y

z 2 = 8x .

UC. Facultad de...