Ejercicios distribuciones continuas

Teorema Central del Limite
Jimena Blaiotta D.N.I. 29905968 jblaiotta@yahoo.com.ar Guido Spano 933, Lanus C.P. 1824 L.U.298/02 Pablo Delieutraz D.N.I. 25227711 pdelieutraz@yahoo.com.ar M. T. de Alvear 1265, Cap. Fed. C.P. 1058 L.U. 229/99

Universidad de Buenos Aires Facultad de Ciencias Exactas y Naturales 30 de julio de 2004

Índice
1. Introducción 2. Deniciones Básicas 3. Aproximaciónnormal de la distribución binomial
3.1. Primera versión del Teorema Central del Límite. . . . . . . . . . 3.2. Uso de la aproximación normal a la binomial. . . . . . . . . . . . 4.1. Suma de variables aleatorias independientes . . . . . . . . 4.2. Herramientas utilizadas por Laplace . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Método de Laplace para aproximar integrales . . . 4.2.2. Funciones características .. . . . . . . . . . . . . . 4.3. La deducción de la aproximación a la distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. Teorema Central del Límite de Laplace

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5. El Teorema Central del Límite durante el período 1810-1853

5.1. Siméon Denis Poisson (1824) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1846) . . . . . . .. . . . . . . . 5.3. Augustin Louis Cauchy (1853) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6. El Teorema Central del Límite y sus primeras demostraciones rigurosas 10
6.1. 6.2. 6.3. 6.4. Teorema Teorema Teorema Teorema Central Central Central Central del del del del Límite Límite Límite Límite de de de de Liapunov . . . . Lindeberg . . . Lindeberg-Lévy Lindeberg-Feller . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7. Generalizaciones del Teorema Central del Límite

7.1. El Teorema Central del Límite para variables dependientes . . . 7.2. El Teorema Central del Límite para vectores aleatorios . . . . . .

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1. Introducción
El Teorema Central de Límite no es un único teorema, sino que consiste en unconjunto de resultados acerca del comportamiento de la distribución de la suma (o promedio) de variables aleatorias. Con Teorema Central del Límite nos referiremos a todo teorema en el que se arma, bajo ciertas hipótesis, que la distribución de la suma de un número muy grande de variables aleatorias se aproxima a una distribución normal. El término Central, debido a Polyá (1920), signicafundamental, o de ìmportancia central, este describe el rol que cumple este teorema en la teoría de probabilidades. Su importancia radica en que este conjunto de teoremas desvelan las razones por las cuales, en muchos campos de aplicación, se encuentran en todo momento distribuciones normales, o casi normales. Un ejemplo típico de este hecho es el caso de los errores de medida. Con respecto a este tema,Laplace propuso una hipótesis que parece ser plausible. Considera el error total como una suma de numerosos errores elementales muy pequeños debidos a causas independientes. Es casi indudable que varias causas independientes o casi independientes contribuyen al eror total. Así por ejemplo, en las observaciones astronómicas, pequeñas variaciones de temperatura, corrientes irregulares de aire,vibraciones de edicios y hasta el estado de los órganos de los sentidos de un observador, pueden considerarse como algunas pocas de dichas causas numerosas. El Teorema Central del Límite es obra de muchos grandes matemáticos. Dentro de la historia del Teorema Central del Límite Laplace ocupa un lugar fundamental: a pesar de que nunca enunció formalmente este resultado, ni lo demostró rigurosamente, aél le debemos este importante descubrimeiento.

2. Deniciones Básicas
Esta sección tiene como objetivo establecer la terminologia y deniciones básicas para evitar interrupciones posteriores y lograr una lectura más uída. Una variable aleatoria (v.a.) X se dice Bernoulli si su función de probabilidad esta dada por: p(0) = P (X = 0) = 1 − p p(1) = P (X = 1) = p para algún p ∈ (0, 1)...