Ejercicios Funciones

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EJERCICIOS RECTAS Y PARÁBOLAS. 28/4/2011

ARAGON 2003

Resolver gráfica y analíticamente el siguiente sistema de ecuaciones:

[pic]

Solución
La primera ecuación corresponde a una parábola al ser una función cuadrática y la segunda a una recta. Para resolverlo gráficamente representamos la parábola y la recta en unos mismos ejes, buscando los puntos de corte entre ambas.
Pararepresentar la parábola, buscamos su vértice y los puntos de corte con los ejes. También podemos dar valores a la gráfica para obtener distintos puntos.

Hallamos el vértice: La ecuación de la parábola tiene la forma: [pic]luego sabemos que su eje es paralelo al eje de ordenadas y como a>0 sabemos que es cóncava hacia arriba.
[pic]

Hallamos los cortes con los ejes:
EJE X; Y=O [pic]
Luego los puntosde corte con el Eje X son (1,0) y el (5,0)

EJE Y; X=0 entonces sustituyendo en la ecuación Y=5. Luego el punto de corte con el eje Y es el (0,5)

También se pueden hallar varios puntos para poder dibujar la parábola dándole valores a x y sustituyendo en la función para ver cuánto da y.

[pic]

Por simetría tendríamos también los puntos (2,-3), (1,0), (0,5)

Para representar la rectahacemos otra tabla dando valores a x.

[pic]

Para resolverlo analíticamente, despejamos y en la ecuación de la recta, sustituimos en la ecuación de la parábola y resolvemos la ecuación resultante.

[pic]

[pic]
Sustituyendo los valores de x obtenidos en la función de la recta obtenemos los puntos de corte de la parábola con la recta:
[pic]
[pic]

ARAGON 2008

Se tienen los puntos A (-1, 6) , B (2, 0) y C ( 4, 5) que son los vértices de un triángulo:
a) Calcula la distancia entre A y B
b) Halla la ecuación de la recta que pasa por A y B
c) Halla la ecuación de la recta que pasa por C y es perpendicular a la recta que pasa por A y B.

Solución

a)Distancia entre dos puntos; solo es aplicar la fórmula:

[pic]
b) La ecuación continua de la recta que pasa por dospuntos:

[pic]

c) Para hallar la recta perpendicular a la anterior, hallamos primero la pendiente de la recta 2x+y-4=0

Pendiente de la recta: [pic] Como la recta que buscamos es perpendicular, su pendiente será la inversa de ésta [pic]
Y con esta pendiente y el punto C(4,5), por el que pasa, hallamos la ecuación continua de la recta que nos piden:

[pic]

Comprobamos que son rectasperpendiculares. Para ello deben cumplir que:

[pic]

EXTREMADURA 2003

Dadas las rectas r: mx + y – 6 = 0 y s: 2x – y + 2m= 0
• a) Averigua el valor de m para que sean paralelas,
• b) Halla la distancia entre ellas.
Solución
para que sean paralelas tienen que ser proporcionales los coeficientes de x y de y en ambas rectas:

[pic]

Además debe cumplirse que [pic]

La distanciaentre ambas será la que haya entre un punto de la primera y la segunda:
Punto de la primera recta: x=0 entonces Y= -6 Punto (0,-6). Segunda recta es: 2x-y-4=0

D (P,r): [pic]

EXTREMADURA 2008

La temperatura T, en grados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada
en función del tiempo t, en horas, por la expresión T(t) =80 t – 10 t2 siendo 0≤ t ≤ 8 .
a) Representargráficamente la función.
b) Determinar cuando alcanza la temperatura máxima la pieza y el valor de ésta.
c) ¿Qué temperatura tendrá la pieza al cabo de una hora?
d) ¿Cuando alcanzará la pieza una temperatura de 150º?

Solución
a) La función T es una función cuadrática, por lo que su gráfica será una parábola. Para representarla necesitamos conocer su vértice y los puntos de corte con los ejes. Tambiénlo podemos hacer dando valores a la gráfica. Al tratarse de una función que sólo toma valores entre 0 y 8, sólo representaremos la gráfica en ese intervalo, y no la parábola completa, lo cual se consideraría un error.

Vértice de la parábola:

[pic]

El punto (4,160) es el vértice.

Hallamos los cortes con los ejes:
EJE X; T=O [pic]
Luego el punto de corte con el Eje X son (80,0))...