ejercicios matematicas 2


DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante.
Esta distribución corresponde a la realización de un experimento aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:

* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A, llamado éxito, o sucontrario A’, llamado fracaso.
* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba del experimento a otra. Si llamamos p a la probabilidad de A, p(A) = P, entonces p(A’) = 1 – p = q
* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas. Todo experimento quetenga estas características se dice que sigue el modelo de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli.

En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:



Como el cálculo de estas probabilidades puede resultaralgo tedioso se han construido tablas para algunos valores de  n  y  p  que facilitan el trabajo.
Calculo de la distribución de probabilidad binomial por tres métodos:
a) Utilización del Minitab 15.
b) Utilización de la fórmula
c) Utilización de las tablas binomiales
Por ejemplo:
¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras al lanzar una misma moneda 6 veces ?

Donde:

P(X) esla probabilidad de ocurrencia del evento
p es la probabilidad de éxito del evento (en un intento) (0.5)
q es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento) y se define como
q = 1 – p (0.50)
X = ocurrencia del evento o éxitos deseados = 2 (para efectos de la tabla binomial tómese como r)
n = número de intentos = 6
a) Cálculo de la distribución de probabilidad binomial utilizando elMinitab 15.

Titular la columna C1 como X y en el renglón 1 columna 1 se coloca el número 2 (el cual representa el número de ocurrencia del evento, ya que se desea saber la probabilidad de que caigan exactamente dos caras). (Referirse a la figura 1)
Seleccionar: Calc / Probability Distributions / Binomial
En seguida aparecerá la ventana "Binomial Distribution" ("Distribucion Binomial").Seleccionar Probability
En el campo de "Number of trials" (Número de intentos) colocar 6 (n)
En el campo de "Event probability" colocar 0.50 (probabilidad de éxito)

En el campo de "Input column" colocar el puntero del mouse y automáticamente aparecerá en el recuadro de la izquierda C1 X el cual se selecciona con el puntero del mouse y luego presionar "Select"

Una vez alimentadolos datos presionar "OK" .

Para obtener así el resultado.
La probabilidad de que caigan 2 caras en el lanzamiento de una moneda 6 veces es 0.234375.
Por lo tanto:


DISTRIBUCIÓN DE POISSON
La distribución de POISSON es también un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, el cual debe su nombre a Siméon Denis Poisson (1781-1840), un francés que la desarrolló a partir de los estudios querealizó durante la última etapa de su vida.
Esta distribución se utiliza para describir ciertos procesos.
Características:
En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc:
- # de defectos de una tela por m2
- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc.
- # de bacterias por c m2 de cultivo
- # de llamadastelefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.
- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.
Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar es:

donde:
p(X) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es l.
l = media o promedio de éxitos por...