Ejercicios matematicas avanzadas para la ingenieria
1.- (i) Sea f(x, y) > 0 en D .Determine el dominio D de:
∫ ∫ f ( x, y)dydx
0 x2
1
x
é intercambie los límites de integración. (ii) Análogamente a (i) para (a)
∫ ∫ f ( x, y )dxdy
0 4y/3
3
25− y 2
(b)
∫ dy ∫
0
a
a+ y
f ( x , y ) dx
, a >0
( b 2 − y 2 ) −1
2.-Sea f(x,y) = (x-y)/(x+y)3 .Mostrarque:
1 1 1 1
∫ dx ∫
0
f ( x , y )dy =
0
1 , 2
y
, ∫ dy ∫ f ( x, y )dx = −
0 0
1 2
3.- (i) ¿ Es verdad que
∫ ∫ sen( 2 y )dydx + ∫ ∫ sen( 2 y )dydx =
1 x 2 x
2 x
πx
4 2
πx
4(2 + π )
π3
?
dy e 4.- Calcular (a) ∫ ∫
0 y
1
1
x2
dx
(b)
∫ dx ∫
0 x
1
1
seny dy y
5.- Precise el dominio e invierta el orden de integración ycalcule la integral
2a x x
(a)
∫ ∫ ∫ xyz dzdydx
0 0 y
(b)
∫∫ ∫e
0 0 y
1 x x+ y
x+ y+ z
dzdydx
6.- Calcular (a)
∫∫
D
x + y dxdy
,
D = { ( x , y ) / | x | ≤ 1, | y | ≤ 1}
∫∫
(b)
D
( x 2 − y 2 ) sen( x + y ) 2 dxdy , donde
D : x + y = 2 , y los ejes coordenado
(c)
∫∫ ( x + x ) dxdy
D
y
,
D:2 ≤ x 2 + y ≤ 3,
0 ≤ y − x2 ≤ 1
∫∫ x(d) (e)
D
2
+ y 2 dxdy,
D : x 2 + y 2 ≤ x, x 2 + y 2 ≥ y > 0
∫∫
D
x2 + y2 dxdy D : x2 + y2 ≤ z, z ≤ 1 ,
y−x
x+ y , s (f) ∫∫e dxdy D : trianguloformadopor x + y = 2, y los ejes coordenado D
1 x2 + y 2
(h)
∫∫ e
D
−
dxdy , D: x 2 + y 2 ≤ 1
7.- Calcular
∫∫ (4 x
A
2
− y 2 ) cos( 2 x + y ) 2 dxdy
Donde A es la región encerrada por las rectas : 2x + y =1 , 2x - y = 1 . 2x + y = - 1 , 2x - y = - 1. 8.- Calcule el área exterior a la lemniscata r2 = 2 a2cos2θ y al circulo de centro cero y radio a. 9.-Sea D = {( u, v ) / 0 ≤ u, v ≤ 1} un dominio en el plano (u, v), sea T una transformación definida por el sistema x = u + v , y = v - u2 . Calcular el valor de la integral ( si existe) :
I =
∫∫
T(D)
dxdy y − x +1
10.- Considere latransformación del plano xy en el plano uv definida por x = v + u , y = - v + u2 . Sea R(u,v) la región acotada por : las rectas: u = 0 , v = 0 , v + u = 2. Calcular
∫∫
R ( x ,y )
d xdy 1+ 4 x + 4 y
11.- Un abanico homogéneo de espesor h (constante) tiene por base la región R = R1 U R2 definida el el plano cartesiano por :
R1 = ( x , y ) ∈ R 2 / 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2 , 3 y ≥ x ≥ 0 , 0 ≤ y ≤ 3x R22
{ = {( x , y ) ∈ R
/ 3 ≤ x2 + y2 ≤ 4 , 3y ≥ x ≥ 0 , 0 ≤ y ≤
2
} 3x}
Encuentre la masa del abanico si su densidad es
ρ( x , y ) = e − x
3
− y2
∀( x , y ) ∈ R 2
12.- Sea f : D⊆ R →R
tal que
si ( x, y, z ) ∈ D − E si ( x, y, z ) ∈ D
x2 f ( x, y , z ) = n −2
donde
1 E = ( n ,0,0) ∈ R 3 / n ∈ N 2
y D es el dominio de R3 acotado
por : x + z ≤1 ; z ≥ 0 ; y≥ 0 ; z ≥ y3 (a) (b) ¿Es f integrable en D? Calcule, si existe
∫∫∫ f (x, y, z)dV
D
13.- Determine la masa de la región homogénea x2+ y2 = z2,
z > 0 , interior al cilindro x2+ y2 = 2y, 14.- Calcular
(a)
∫∫∫ zdxdydz
D
,
D: 0 ≤ x , y, z;
x + y = 2, 2 x + y = 6, z 2 + y 2 = 4
(b) (c)
∫∫∫ ( yz + 3 y )dxdydz
D
,
D: A cot ado por x + z = 3, x = 0, z 2 + y2 = 9 D: 0 ≤ x , y , z ≤ 1
∫∫∫ ( x + y + z ) sgn( x − y )dxdydz
D
,
∫∫∫
(d)
D
dxdydz x +y +z
2 2 2
,
D: región encerrada por z = x 2 + y 2 2z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 + z 2 = 6
15.- Determine el volumen de la región : (a) x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 y , x 2 + y 2 ≥ z 2 (b) x 2 + y 2 ≤ 1 + z 2 , x 2 + y 2 ≥ 2 z (c) x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , x 2 + ( y − 1) 2 ≤ 1, z ≥ 0, y ≥ 0
(d) x2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 , x 2 + y 2 ≥| ax |Pr oblemadeViviani (e) x 2 + y 2 = 2 x , x 2 + y 2 = z 2 , z ≥ 0, el plano xy (f) x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 , x 2 + y 2 ≥ a x , a > 0 (g) x 2
+ y 2 ≥ 4| x| , x 2 + y 2 ≤ 16 − z 2 .
16.- Determine la masa del cuerpo acotado por las superficies , en el primer octante, x = 0, z = 0, x + y = 2, 2y + x = 6 ,z2 + y2 = 4. Si la densidad es proporcional a la...
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