Ejercicios resueltos analisis vectorial

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

7
7.1.
7.1.
7.2.
7.2.
7.3.
7.3.
7.4.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.

CAMPOS VECTORIALES EN n
DEFINICIONES
PROPIEDADES
CAMPOS VECTORIALES
CONSERVATIVOS
INTEGRALES DE LÍNEAS
TEOREMA DE GREEN
INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA DE
UNA REGIÓN PLANA
7.8. INTEGRALES DE SUPERFICIE
7.8.1

INTEGRALES DE SUPERFICIES
FUNCIONES ESCALARES.
7.8.2 TEOREMA DESTOKES
7.8.3 INTEGRALES DE FLUJO
7.8.4 TEOREMA DE GAUSS

DE

Objetivos.

Se persigue que el estudiante:
• Calcule integrales de línea.
• Aplique el Teorema de GREEN.
• Calcule el área de regiones planas empleando integrales de
líneas.
• Calcule integrales de Superficie.
• Aplique el Teorema de Stokes.
• Aplique el teorema de Gauss

227

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

Enel capítulo de funciones de variables se definió funciones vectoriales

F :U ⊆
F :U ⊆ n → n

generales de la forma
de la forma

n

→

m

, ahora trataremos con funciones

7.1. CAMPOS VECTORIALES EN
Sean f1 , f 2 ,
, fn
las variables x1, x2 ,

n

funciones escalares de
, xn definidas en una

región Ω de n . La función F : U ⊆
tal que F = ( f1 ( x x , , x ) , f 2 ( x x , ,x ) , , f n ( x x ,
llama Campo vectorial sobre Ω .
1,

Si
Si

F :U ⊆

2

→

2

2

n

1,

2

n

se lo denota como

1,

2

n

→

, xn )

n

) se

F = ( M ( x, y ) , N ( x, y ) ) .

F : U ⊆ 3 → 3 se lo denota como:
F = ( M ( x, y , z ) , N ( x, y , z ) , P ( x, y , z ) )
Ejemplo
F :U ⊆

2

→

2

(

tal que F = 2 x + y, x 2 − y 2

)Algunos ejemplos físicos comunes de campos vectoriales son:
• Campos de velocidades
• Campos gravitacionales.
• Campos de fuerzas eléctricas.

∇f , de una función escalar f .
⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞
∇ = ⎜ , , ⎟ , operador NABLA, podemos
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠

Un campo conocido es el Gradiente,
Si llamamos el vector

obtener la definición del gradiente y otras definiciones más.

7.2 DEFINICIONES
Sea f unafunción escalar y F = ( M , N , P )
un campo vectorial. Se define:
1. El gradiente de f como el vector

228

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞
⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞
∇f = ⎜ , , ⎟ f = ⎜ , , ⎟
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
2. La Divergencia de F como
⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞
∇ • F = ⎜ , , ⎟ • (M , N, P)
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠

∂M ∂N ∂P
+
+
∂x
∂y ∂z
3. El rotacional de F como el vector
i
j
k
∂
∂
∂
∇×F =
∂x ∂y ∂z
M N P
4. El Lapalciano de f como
⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞
∇ 2 f = ∇ • ∇f = ⎜ , , ⎟ • ⎜ , , ⎟
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
=

∂2 f ∂2 f ∂2 f
= 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z

7.3 PROPIEDADES
Sea f una función escalar y sean F y G
campos vectoriales. Entonces:
1. ∇ • F + G = ∇ • F + ∇ • G

( )
2. ∇ • ( f F ) = f ( ∇ • F ) + ( ∇f ) • F
3. ∇ × ( f F ) = f ( ∇ × F ) + ( ∇f ) × F
4.∇ • ( F × G ) = ( ∇ × F ) • G + ( ∇ × G ) • F
5. ∇ × ( ∇f ) = 0

(

)

6. ∇ • ∇ × F = 0

229

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

(

)

7. ∇ × ∇f + ∇ × F = ∇ × ∇ × F
Las demostraciones de estas propiedades se la dejamos al lector.

7.4 CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS
Un campo vectorial F se dice que es
conservativo si existe alguna función
diferenciable f tal que F = ∇f .La función
f se llama función potencial de F .

7.4.1 Teorema.
Un campo vectorial F es conservativo y si
sólo si ∇ × F = 0 .
Ejemplo 1
Determine si F = ( 2 xy, x 2 − y ) es conservativo. En caso de serlo encuentre la
función potencial.
SOLUCIÓN:

El rotacional de F sería:

i
∂
∇× F =
∂x
M

j
∂
∂y
N

k
i
∂
∂
=
∂z
∂x
P
2 xy

j
∂
∂y
x2 − y

k
∂
= ( 0, 0, 2 x −2 x ) = ( 0, 0, 0 )
∂z
0

Por tanto, F si es conservativo.
Note que para campos de

2

, basta que

∂N ∂M
=
para ser conservativos. ¿Por qué?.
∂x
∂y

Cuando el campo es conservativo la función potencial existe y además:

⎛ ∂f ∂f ⎞
F = ∇f = ⎜ , ⎟ = ( 2 xy, x 2 − y )
⎝ ∂x ∂y ⎠
Es decir conocemos las derivadas parciales de la función potencial, entonces:

∂f
= 2 xy ⇒ f...