Ejercicios resueltos de derivadas e integrales

Ejercicios de derivadas e integrales

Este material puede descargarse desde http://www.uv.es/~montes/biologia/matcero.pdf

Departament d’Estad´
ıstica i Investigaci´ Operativa
o
Universitat de Val`ncia
e

Derivadas
Reglas de derivaci´n
o

Suma

Producto

d
[f (x) + g (x)] = f (x) + g (x)
dx
d
[kf (x)] = kf (x)
dx
d
[f (x)g (x)] = f (x)g (x) + f (x)g (x)
dx

CocienteRegla de la cadena

d f (x)
f (x)g (x) − f (x)g (x)
=
dx g (x)
g (x)2
d
{f [g (x)]} = f [g (x)]g (x)
dx
d
{f (g [h(x)])} = f (g [h(x)])g [h(x)]h (x)
dx
dk
(x ) = kxk−1
dx

Potencia

d
[f (x)k ] = kf (x)k−1 f (x)
dx

d√
d 1 /2
1
( x) =
(x ) = √
dx
dx
2x

d
[
dx

d
dx

d
1
f (x)
=−
dx f (x)
f (x)2

1
x

=

d −1
1
(x ) = − 2
dx
x

f (x)] =f (x)
2

f (x)

2

Reglas de derivaci´n (continuaci´n)
o
o
d
(sin x) = cos x
dx

d
[tan f (x)] = [1 + tan2 f (x)]f (x)
dx
d
[arcsin f (x)] =
dx

d
−1
(arc cos x) = √
dx
1 − x2

d
[arc cos f (x)] =
dx

d
1
(arctan x) =
dx
1 + x2

d
f (x)
[arctan f (x)] =
dx
1 + f (x)2

dx
(e ) = ex
dx

d f (x)
(e
) = ef (x) f (x)
dx

dx
(a ) = ax ln a
dx

df (x)
(a
) = af (x) ln af (x)
dx

d
1
(ln x) =
dx
x

Exponenciales

d
[cos f (x)] = − sin f (x)f (x)
dx

d
1
(arcsin x) = √
dx
1 − x2
Funciones de arco

d
(cos x) = − sin x
dx
d
(tan x) = 1 + tan2 x
dx

Trigonom´tricas
e

d
[sin f (x)] = cos f (x)f (x)
dx

d
f (x)
(ln f (x)) =
dx
f (x)

d
11
(lg x) =
dx a
x ln a

d
f (x) 1
(lg f (x)) =
dx a
f(x) ln a

f (x)
1 − f (x)2
−f (x)
1 − f (x)2

Logar´
ıtmicas

3

Ejercicios de derivadas
1. Determinar las tangentes de los ´ngulos que forman con el eje positivo de las x las l´
a
ıneas
tangentes a la curva y = x3 cuando x = 1/2 y x = −1, construir la gr´fica y representar
a
las l´
ıneas tangentes.
Soluci´n.- a) 3/4, b) 3.
o
2. Determinar las tangentes de los ´ngulos queforman con el eje positivo de las x las l´
a
ıneas
tangentes a la curva y = 1/x cuando x = 1/2 y x = 1, construir la gr´fica y representar
a
las l´
ıneas tangentes.
Soluci´n.- a) -4, b) -1.
o
3. Hallar la derivada de la funci´n y = x4 + 3x2 − 6.
o
Soluci´n.- y = 4x3 + 6x.
o
4. Hallar la derivada de la funci´n y = 6x3 − x2 .
o
Soluci´n.- y = 18x2 − 2x.
o
o
5. Hallar la derivada de lafunci´n y =
Soluci´n.- y =
o

5x4
a+b

−

x2
a− b .

−

2x
a−b .

6. Hallar la derivada de la funci´n y =
o
Soluci´n.- y =
o

x5
a+ b

x3 −x2 +1
.
5

3x2 −2x
.
5

7. Hallar la derivada de la funci´n y = 2ax3 −
o

x2
b

+ c.

2x
b.

2

Soluci´n.- y = 6ax −
o

5

7

8. Hallar la derivada de la funci´n y = 6x 2 + 4x 2 + 2x.
o
5

3

Soluci´n.-y = 21x 2 + 10x 2 + 2.
o
9. Hallar la derivada de la funci´n y =
o
Soluci´n.- y =
o

√
3
√
2x

+

3

1
√
32
x

−

3(x+1)2 (x−1)
5

2x 2

1
2√
3 3x

−

1
x + x.

(x+1)3
3

x2

.

√
3

√
x2 − 2 x + 5.

1
√.
x

12. Hallar la derivada de la funci´n y =
o
2

√
3

.

11. Hallar la derivada de la funci´n y =
o
Soluci´n.- y =
o

3x +1
x2 .

10. Hallar la derivada de la funci´n y =
o
Soluci´n.- y =
o

√

5

ax2
√
3
x

+

b
√
xx

−

√
3
√x .
x

7

3
Soluci´n.- y = 5 ax 3 − 2 bx− 2 + 1 x− 6 .
o
3
6

13. Hallar la derivada de la funci´n y = (1 + 4x3 )(1 + 2x2 ).
o
Soluci´n.- y = 4x(1 + 3x + 10x3 ).
o
14. Hallar la derivada de la funci´n y = x(2x − 1)(3x + 2).
o
Soluci´n.- y = 2(9x2 + x− 1).
o

4

15. Hallar la derivada de la funci´n y = (2x − 1)(x2 − 6x + 3).
o
Soluci´n.- y = 6x2 − 26x + 12.
o
16. Hallar la derivada de la funci´n y =
o
Soluci´n.- y =
o

2x 4
b2 −x2 .

4x3 (2b2 −x2 )
(b2 −x2 )2 .

17. Hallar la derivada de la funci´n y =
o

a− x
a+x .

2
Soluci´n.- y = − (a+a )2 .
o
x

18. Hallar la derivada de la funci´n f (t) =
o
t2 (3+t2...