ejercicios resueltos de derivadas



   
La teoría quedaría incompleta si nos se presentaran algunos ejemplo de como se ha de abordar los diversos ejercicios. A continuación se presentan algunos, así mismo se le sugiere al estudiante realizar algunos de ellos que se presentan en la sección de problemas y que servirán para reforzar los conocimientos adquiridos en esta sección. (Video 14MB)
 
1.- Resolver el limite:solución:
 

 
2.- Resolver el limite
solución:
La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar algunas operaciones antes de aplicar el limite, ya que este limite nos conduce a la indeterminación del tipo cero sobre cero. Para su solución existen dos métodos:
 
1er Método
 
Por lo que aplicando la factorización:
 

 

 
2odo Método
   
Unsegundo método, que requiere del conocimiento de uso de fórmulas de derivación,  para solucionar este tipo de problemas es la famosa ley de L´Hospital. Para los estudiantes que abordan por segunda vez el tema de límites les será de mayor utilidad, sin embargo, para los estudiantes que lo abordan por primera vez se les sugiere retomar el tema una vez que se hayan cubierto los ejercicios dederivadas.  (Video 17MB )
 
Mediante la regla de L´Hospital
Derivamos tanto el numerador como el denominador, antes de evaluar el limite, obteniendo:
 
 

 
aplicando el limite a esta última expresión obtenemos:
 

 
3.- Resolver el siguiente limite:
 
Solución: Como el limite queda indeterminado debido a la división:
 

 
entonces es necesario dividir entre la variable a lamayor potencia tanto en el numerador como en el denominador en este caso entre x7:
 

 
4.- Solucionar el siguiente limite:
 

 
Solución:
 
Dividiendo entre x3 por ser variable de mayor potencia tendríamos:
 

5.- Encontrar el
 
Solución:
 

 
6.- Encontrar la solución de la siguiente expresión:
 

 
solución:
 
Multiplicando por
 
        
 tenemos:
 

 
 
 
 
 
 
7.- Encontrar la solución del siguiente limite
 
Solución: La solución, como podemos analizar, no es tan inmediata ya que nos conduce a la indeterminación de la forma cero entre cero. Al igual que el ejercicio 2 podemos llegar al resultado mediante dos caminos diferentes:
 
1er Método
 
Debido a que se puede expresar como
por lo que:

 
 
2odoMétodo
 
Mediante la regla de L´Hospital tenemos:
 
 

 
por lo que:
 

 
8.- Resolver el siguiente limite:
 
Solución: Como el limite es indeterminado de la forma infinito sobre infinito primero dividiremos entre x100
 

con lo que:
 

 
por lo tanto:


 
9.- Obtén el siguiente limite:
 
Solución: Directamente no se puede obtener el resultado por loque es necesario desarrollar los productos
 
 

 
 
Aunque aun la solución no es tan inmediata si podemos plantear dos diferentes métodos de solución:
 
1er Método
 
Dividiremos entre la variable de mayor potencia:
 

 
por lo tanto
 

 
 
2odo Método
 
Mediante regla de L´Hospital
 

 
como esta fracción aun mantiene la indeterminación entonces se derivanuevamente:
 

 
por tanto:
 

 
10.- Resolver el siguiente limite:
Solución:
 
 


 
 
 
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