Ejercicios Resueltos De Determinantes

Páginas: 4 (909 palabras) Publicado: 29 de octubre de 2015
EJERCICIOS RESUELTOS DEL TEMA 5
(Determinantes)

 
1.-

Determinar los valores de a y b para que la matriz A sea regular, siendo:

⎛0

b
A=⎜
⎜a

⎝0

a
0
1
1

b
1
2
3

0⎞

1⎟
2⎟

3⎠

Solución:Para que la matriz A sea regular es preciso que su rango sea 4, es decir, que su
determinante no sea nulo. Sumando, por ejemplo, a la segunda fila la tercera multiplicada por

−b / a , es decir, F2 −

bF3 → F2 :
a

0
b
det ( A ) =
a
0

a
0
1
1

b
1
2
3

0 a
b
0
0
b
b
b
1 0 −
1− 2
1− 2
=
a
a
a
2
2
2
a 1
3
0 1
3
3

y desarrollando por los adjuntos de la primera columna y aplicando luego la regla deSarrus:

a
b
0
a
b
0
b
b
b
det ( A ) = a −
1− 2
1 − 2 = −b a − 2b a − 2b =
a
a
a
1
3
3
1
3
3
= 3a ( a − 2b ) + b ( a − 2b ) + 3b 2 − 3a ( a − 2b ) = b ( a + b )
Por tanto, para b = 0 y para b = –a,det(A) = 0 y la matriz A es singular.

2.-

Calcular, indicando todas las operaciones realizadas, el determinante de la matriz:

⎛4

1
A=⎜
⎜2

⎝4

1
3
1
0

3
1
1
2

2⎞

0⎟
3⎟

3⎠

Solución:

4

1
32
11
1
1

0
4
4
2
det( A) =
1
1

0
2
2
2
0 −1 −1
1

1
− F1 + F2 → F2
4
1
− F1 + F3 → F3
2
− F1 + F4 → F4

Desarrollando por los adjuntos de la primera columna y luego por la regla de Sarrus:

11
1
1−
4
4
2
1
1

det( A ) = 4 ⋅
2=
2
2
−1 −1
1
⎡⎛ 11 1
1
1 1⎞ ⎛ 1 1
1 1
11
⎞⎤
4 ⎢⎜ − ⋅ ⋅1 − ⋅ 2 ⋅1 + ⋅1 ⋅ ⎟ − ⎜ − ⋅ ⋅1 + ⋅ ⋅1 − ⋅1⋅ 2 ⎟ ⎥ = 16
4
2 2⎠ ⎝ 2 2
4 2
4
⎠⎦
⎣⎝ 4 2

3.-

Calcular, indicando todaslas operaciones realizadas, el determinante de la matriz:

⎛ 1+ a

1 + 2a
A=⎜
⎜ 1 + 4a

⎝ 1 + 8a

2
1
2
1

3
0
4
0

2⎞

2⎟
1⎟

1⎠

Solución:

1+ a
det( A ) = D =

2 3 2

1 + 2a 1 0 2
1 + 4a 2 4 1
1+ 8a 1 0 1

F2 − F1 → F2
F3 − F1 → F3
F4 − F1 → F4

1 2 3 2
=

1 1 0 2
1 2 4 1

a
+

2 3 2

2a 1 0 2
4a 2 4 1

= D1 + D2

1 1 0 1 8a 1 0 1






D1
D2

1 2 3 2
0 −1 −3 0
D1 =
;
0 0 1 −10 −1 −3 −1 F4 − F2

→ F4

1 2 3 2
0 −1 −3 0
D1 =
=1
0 0 1 −1
0 0 0 −1

2

a

3

2

−3 −6 −2
0 −3 −6 −2
D2 =
= a −6 −8 −7 =
0 −6 −8 −7
−15 −24 −15
0 −15 −24 −15

F2 − 2 F1 → F2
F3 − 4 F1 → F3
F4 −...
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