Ejercicios Resueltos

Ejercicios resueltos.
1.- Comprobar que se cumplen las condiciones del teorema del punto fijo para las siguientes funciones, encontrando un intervalo que cumpla las condiciones.
a) g(x) = + 
Estafunción está definida en el intervalo [-2, + ¥ [.
g'(x) =  Þ |g'(x)| < 1 Û 1 < 2  Û  > Û
Û x+2 > Û x > -
luego |g'(x)| < 1 "x Î ] - , + ¥ [. Además g(-) = Î ] - , + ¥ [
Como la función +  escreciente g(x) Î ] - , + ¥ [ "x Î ] - , + ¥ [.
Podemos pues elegir intervalos I Ì ] - , + ¥ [.
Fijando por ejemplo I = ] 0 , 100 [ tenemos:
a) Para todo x Î [0 , 100] Þ g(x) Î [0 , 100] por ser la función+  creciente.
b) g(x) es continua en [0 , 100].
c) g(x) es derivable en ] 0 , 100[ y cumple: |g'(x)| £ g'(0) =  < 1 para todo x en ] 0 , 100[
luego en [ 0 , 100] existe un único punto fijo.


|g'(x)| < 1 Û 2< x2 Û x > ó x < - Û
Û x Î ] , + ¥ [ ó x Î ] - ¥ , - [
Como la función g(x) es decreciente y g(- ) = 1 - Ï ] - ¥ , - [ este intervalo no puede cumplir la primera condición.
Tomamos el intervalo [ ,+ ¥ [. Evidentemente g(x) es continua en él y además es decreciente, es decir,  <  Þ g() > g(). Nos interesa conocer el punto donde g(x) = 

luego "x Î [ , 2( + 1)] se cumplirá:
como g() = 1 + Î [ , 2( +1)]
g(2( + 1)) = Î [ , 2( + 1)] y ser g(x) decreciente
g(x) Î [ , 2( + 1)] "x Î [ , 2( + 1)]
Podemos pues elegir intervalos I Ì ] , 2( + 1)[.
Fijando por ejemplo I = ] 3/2 , 4 [ tenemos:
a) Paratodo x Î [3/2 , 4] como g(3/2) = 7/3 Î I y g(4) = 3/2 Î I y la función g(x) es decreciente se verifica que g(x) Î [3/2 , 4].
b) g(x) es continua en [3/2 , 4]
c) g(x) es derivable en ] 3/2 , 4[ y cumple:|g'(x)| £ g'(3/2) = 8/9 < 1 para todo x en ] 3/2 , 4[
luego en [3/2 , 4] existe un único punto fijo.
 

2.- Verificar las hipótesis del teorema del punto fijo para una función g(x) obtenida a partir de f(x) =x-2sen x
Dem: La función de iteración más inmediata será: g(x) = 2 sen x
Si representamos gráficamente esta función y la recta y = x veremos que hay tres puntos fijos: uno en las...