Ejercicios Resueltos De Matrices

EJERCICIOS RESUELTOS DEL TEMA 3
(Matrices)

1.-

Sea la matriz cuadrada A de dimensión 4 y elementos reales definida mediante:
 0 si i ≥ j
ai , j =  j −i
si i < j
a
siendo a un número real. Se pide calcular el valor de:
1
1
1
B = A − A 2 + A3 − A 4 + …
2
3
4

Solución:
A es la matriz estrictamente triangular superior siguiente:

0

0
A=
0

0

a3 

a2 
a

0 

a a2
0 a
0 0
0 0

ysus sucesivas potencias son:

0

0
2
A =
0

0

0 a2
0 0
0 0
0 0

0 0
2a 3 

2 
a 
0 0
3
A =
0 0
0 


0 
0 0

0 a3 
0 0

0 0
0 0
A4 = 
0 0
0 0


0 0
0 0

0
0
0
0

0
0 
0

0 

es decir, es nilpotente de orden 4, por lo que sólo será necesario sumar los tres primeros
términos de B:


0

1 2 1 3 
B = A − A + A = 0
2
3

0
0


2.-

a

1 2
a
2

0

a

00

0

0

1 3
a
3 

1 2
a
2 

a 
0 

Hallar todas las matrices cuadradas de dimensión 2 y elementos reales tales que
su cuadrado sea la matriz identidad.

Solución:

1

Sea una matriz genérica X de dimensión (2,2) y elementos reales:
a b 
X=

c d 
2
 a b   a b   a + bc b ( a + d )   1 0 
X =
 = 

 = 

2
 c d   c d   c ( a + d ) d + bc   0 1 
2

lo que obligaa que se cumpla:

a 2 + bc = 1 

b ( a + d ) = 0

c (a + d ) = 0
d 2 + bc = 1 
La segunda ecuación se cumple tanto si b=0 como si a+d=0. Veamos ambos
casos:
Caso b = 0: de la primera y de la cuarta ecuación deducimos que a = ±1 , d = ±1 y de
la tercera:
a + d = 0 ⇒ c arbitrario
a+d ≠0⇒c =0
Caso b ≠ 0: de la segunda ecuación deducimos que d = –a y de la primera o de la
cuarta:
1 − a2
c=
bEn definitiva, el cuadrado de cualquiera de las siguientes matrices es la matriz
identidad:

 a
 1 0   −1 0   −1 0   1 0  

; 
; 
; 
 ; 1 − a2
 0 1   c 1   0 −1  c −1 
 b

b 

− a 


OTA: Si se hubiese empezado a discutir el sistema a partir de la tercera ecuación se
hubiera obtenido:

Caso c = 0: de la primera y de la cuarta ecuación deducimos que a = ±1 , d = ±1y de
la segunda:
a + d = 0 ⇒ b arbitrario
a+d ≠0⇒b=0
Caso c ≠ 0: de la tercera ecuación deducimos que d = –a y de la primera o de la cuarta:

2

b=

1 − a2
c

En definitiva, el cuadrado de cualquiera de las siguientes matrices es la matriz
identidad:

1− a2 
 1 0   −1 b   −1 0   1 b   a

c 

; 
; 
; 
; 
0
1
0
1
0
−
1
0
−
1

 
 
 
 c
− a 

Es fácil ver que ambassoluciones coinciden sin más que considerar los valores
b=0 y b≠0.

3.-

En el conjunto de las matrices cuadradas de dimensión n se consideran las
matrices A, simétrica, y B, antisimétrica.
Se pide determinar el carácter
(simétrio o antisimétrico) de las siguientes matrices:
a)
b)
c)
d)

AB + BA
AB – BA
A2
B2

Solución:
a)
b)
c)
d)

( AB + BA ) = ( AB ) + ( BA ) = BT AT + AT BT = −BA − AB = − ( AB+ BA )
T
T
T
( AB − BA ) = ( AB ) − ( BA ) = BT AT − AT BT = −BA + AB = AB − BA
T
( A 2 ) = ( AA )T = AT AT = AA = A 2
T

T

( B ) = ( BB )
2 T

T

T

= BT BT = ( −B )( −B ) = B 2

Luego la matriz del apartado a) es antisimétrica y todas las demás simétricas.

4.-

Demostrar que si A es una matriz idempotente y además (A–AT)2 = 0, se cumple
que AAT es una matriz idempotente.

Solución:

Se diceque la matriz A es impotente cuando A2 = A. Por tanto, se trata de
demostrar que, en las condiciones del enunciado, AAT = AA .

3

0 = ( A − AT ) = ( A − AT )( A − AT ) = A 2 − AAT − AT A + ( A T ) = A − AAT − AT A +AT
2

2

Premultiplicando por AAT:
0 = AAT A − AAT AAT − AAT AT A + AAT AT =
= AAT A − ( AAT ) − AAT A + AAT =
2

= − ( AAT ) + AAT
2

5.-

( AA )

⇒

T

2

= AAT

Dada la matriz:

 a1 0


A = 0 1 b
 1 1 0


donde a,b ∈ R. Se pide:
a)
b)

Determinar a y b para que A sea singular.
Determinar a y b para que A sea idempotente.

Solución:

a)

La condición para que una matriz A sea singular es que det(A) = 0, luego:

a 1 0

a 1
det ( A ) = 0 1 b = b
= b ( a − 1) = 0
1 1
1 1 0
Por tanto, A es singular si b = 0 ó a = 1.
b)

A es idempotente si A2 = A, luego:

2
 a 1 0...