ejercicios resueltos de probabilidad



MODELOS DISCRETOS DE DISTRIBUCION PROBABILISTICA




2.1 Distribución Binomial

2.1.1 Función de Probabilidad del Modelo Binomial

2.1.2 Propiedades del Modelo Binomial

2.2 Distribución Bernoulli

2.3 Distribución Poisson

2.3.1 Aproximación Matemática del modelo de Poisson a partir del modelo Binomial

2.3.2 Propiedades del Modelo de Poisson

2.4Distribución Hipergeométrica

2.4.1 Función de Probabilidad del Modelo Hipergeométrico

2.4.2 Propiedades del Modelo Hipergeométrico

Ejercicios de Autocomprobación



















2.1 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Si consideramos un experimento aleatorio que en cada prueba se presenta uno de los resultados que son excluyentes A ^ Ā con probabilidades p, (1 - p) respectivamente.Definamos una variable aleatoria x como el número de veces que se presenta se el suceso A en las n pruebas independientes. ¿Podemos hallar la probabilidad de que en las n pruebas se presente exactamente n veces el suceso A?

Tenemos que sea p(A) = p y p (Ā) = 1 - p, si hacemos n pruebas con n artículos y los primeros x que analizamos son de buena calidad y los demás son de mala calidad.Podemos apreciar que:


n

A1, A, Ā, Ā,...., Ā

x n – x

n

p, p, ..., p, (1 – p), (1 – p), …, (1 – p)

x n – x



Nos valemos de las combinaciones para obtener x elementos de n muestra.


p(x) = pr (x = x) = (2.1)
Para todo valor de x entero positivo = 0,1,…, n


2.1.1 Función de Probabilidad del Modelo Binomial. La funciónp(x) se llama función de probabilidad o de cuantía de una distribución binomial Figura 8.1.

Si una variable aleatoria x tiene por función de probabilidad p(x) igual a la anterior, se dice que la variable aleatoria x se distribuye como una binomial de parámetros n, p que se expresa así: x ~ b(n, p)


p(x) = n C x p x (1- p)n-x si sabemos que x = 0, 1,..., n (2.2)

n = Parámetro discretop = Parámetro continuo que se llama probabilidad de éxito o de interés.
(1 - p) = Probabilidad de fracaso o de no interés.


2.1.2 Propiedades del Modelo Binomial.

1. Su función de probabilidad p(x) siempre será mayor o igual a cero: p(x) ≥ 0

2. La suma de todas las funciones de probabilidades debe ser igual a 1, o sea, ∑ p(x) = 1

3. Función de distribución acumulada estádada por: F(x) = p(x ≤ x)


x = 0, 1, 2,…, n (2.3)


La aplicación de la función de distribución acumulada del modelo binomial permite calcular las diferentes probabilidades para los valores menores o iguales () de x que toma la variable, las cuales se encuentran tabuladas en el apéndice A1, llamada tabla de la distribución binomial Figura 8.2.

Las diferentes preguntas de los casosposibles o inferencias que se pueden plantear en los ejemplos o ejercicios corresponden a las propiedades de la función de distribución acumulada para una variable aleatoria discreta F(x), presentadas como fórmulas con número de referencia (1.3) hasta la (1.16).


Figura 8.1.Función de Cuantía Figura 8.2 Función de distribución acumulada




Esperanza Matemática de la distribuciónBinomial: E(x) = µ = n  p (2.4)

Varianza de la distribución binomial: σ 2 = n  p(1 - p) (2.5)








Condiciones para aplicar la Distribución Binomial.

Cada prueba del experimento puede clasificarse entre dos categorías: como de interés o de éxito y como de no interés o de fracaso.

Que la probabilidad de éxito sea la misma en cada prueba delexperimento.

Cada prueba de experimento es independiente de las otras pruebas.

El experimento debe realizarse bajo las mismas condiciones un número finito de veces.

El muestreo es con reemplazamiento o con sustitución.


Aplicación de la Distribución Binomial

La tabla de la distribución binomial es calculada de acuerdo con la propiedad de la función de distribución acumulada F(x) del...