ejercicios resueltos de variables

Matemáticas
1
1

EJERCICIOS RESUELTOS:
Funciones de una variable

Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Funciones una variable

Fundamentos Matemáticos I

1

En el siguiente gráfico se considera una función y = f ( x ) . Representa la derivada en el
punto x, el incremento de y = f (x ) para un incremento de x, ∆x , y la diferencial de
y = f (x )

en x para ∆x . Calcula estos dos valores para y = x x en el punto x = 2 .

f(x+∆x)
f(x+∆x)-f(x)

f(x)

α

∆x

α
x

x+∆x

Solución:
xx = y

→ x log x = log y

Derivando implícitamente
log x +

x
y'
=
→ y ' = y ( log x + 1 ) → y ' = x x ( log x + 1 )
x
y

Para x=2
y ' ( 2 ) = 22 ( log 2 + 1 )
dy =22 ( log 2 + 1 ) ∆x

2

Deduce la derivada de la función y = arcsenx

Solución:
Sea y = arcsenx entonces

2

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Funciones una variable

Fundamentos Matemáticos I

seny = x

Derivando respecto a x:

( cos y ) y ' = 1

3

⇒ y' =

1
=
cos y

1
2

=

1 − sen y

1
1 − x2

Hallar laderivada enésima de f ( x ) = sen ( 2x ) cos ( 2x ) en x=0 (utilizar fórmula del seno del
ángulo doble)

Solución:
1
2

Teniendo en cuenta que: f ( x ) = sen ( 2x ) cos ( 2x ) = sen ( 4x ) se tiene:
f ' ( x ) = 2 cos ( 4x )
f '' ( x ) = −2 ⋅ 4sen ( 4x )
f ''' ( x ) = −2 ⋅ 42 cos ( 4x )
f iv ( x ) = 2 ⋅ 43 sen ( 4x )

Luego, para todo n ≥ 1
n

f (2n ( x ) = ( −1 ) 2 ⋅ 42n −1 sen ( 4x )
n+1

f (2n −1 ( x ) = ( −1 )

2 ⋅ 42n −2 cos ( 4x )

Otra forma: Teniendo en cuenta que:

π
cos ( α ) = sen  α + 

2 

se tiene que:

π
f ' ( x ) = 2 cos ( 4x ) = 2sen  4x + 

2 


π
π π
f '' ( x ) = 2 ⋅ 4 cos  4x +  = 2 ⋅ 4 ⋅ sen  4x + + 




2
2
2 


π
π
f ''' ( x ) = 2 ⋅ 42 cos  4x + 2 ⋅  = 2 ⋅ 42 ⋅ sen  4x+ 3 ⋅ 




2
2 

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

3

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Funciones una variable

Fundamentos Matemáticos I

…
Fórmula que se demuestra por inducción sobre n.

4

Se considera la ecuación:
x2

d 2y
dx

2

− 4x

dy
+ 6y = x 3
dx

y se realiza el cambio x = et . Escribir la ecuación después de haber realizadoel cambio
considerando la variable y dependiente de t .

Solución:
Se tiene el siguiente árbol de dependencia:
y-----x-----t
Aplicando la regla de la cadena:
dy
dy dx
=
dt
dx dt

⇒

dy
dy
= e −t
dx
dt

(1)

Aplicando nuevamente la regla de la cadena derivando respecto de x sabiendo
que
x-----t
d 2y
dx 2

=

d
dx

 dy 


  = d e −t dy  dt

 dx dt 

dt  dx

=
t = log x
dt 1 −t
= =e
dx x

Sustituyendo en la ecuación dada:

4

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

2 

 e −t dy + e −t d y e −t
−


dt

d 2t 

(2)

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Funciones una variable

Fundamentos Matemáticos I


d 2y 
dy
−2t dy
 − 4ete −t
+ e −2t
+ 6y = e 3t
e 2t −
 e
2 

dt
dt
d t
2 

− dy + d y  − 4 dy + 6y = e 3t

 dt
dt
d 2t 

d 2y
2

d t

5

−5

dy
+ 6y = e 3t
dt

Sea g ( x ) = f ( senx ) , sabiendo que f ' ( 0 ) = 0 calcular g ' ( π ) . Comprueba además el
resultado obtenido para una función f concreta.

Solución:
Aplicando la regla de la cadena,
g ' ( x ) = f ' ( senx ) ⋅ cos x ⇒ g ' ( π ) = f ' ( sen π ) ⋅ cos π = f ' (0 ) ⋅ ( −1 ) = 0
2

Por ejemplo, podemos considerar f ( x ) = x 2 ⇒ g ( x ) = f ( senx ) = ( senx )

Se tendría para este ejemplo g ' ( x ) = 2 ( senx )( cos x ) ⇒ g ' ( π ) = 2sen π ⋅ cos π = 0

2
2
6 Dada la curva x + y − 2x + 6y + 6 = 0 , se pide representarla y calcular la recta tangente y

normal a dicha curva en el punto P ( 2, −3 + 3 ) .

Solución:
Completando cuadrados...