Ejercicios Resueltos Geom Vect

EJERCICIOS RESUELTOS. GEOMETR´IA VECTORIAL
(Inspirado en el 1er problema del 2do parcial del ciclo I de 1004.)
Sean a,b,c tres vectores en Rn cuyas normas son 1,2,3, resp. y tales que el ´anguloentre
cualesquiera dos de ellos es π/3. Si tenemos que d=a-4b, e=2b+3c, f=a+b+c, encuentre la
norma de d,e,f. Adem´as halle el producto punto y el a´ngulo entre cualesquiera dos de ellos.

La clave pararesolver el problema es notar que si x, y, z son vectores entonces (x + y) ·
√
(y + z) = x · y + x · z + y · y + y · z. Al aplicar esto en, por ejemplo, ||d|| = d · d =
√
(a − 4b) · (a − 4b) = a · a −8a · b + 16b · b. el problema se puede resolver.

d · e = −123/2, e · f = 113/2, f · d = −57/2, ||d|| =
−123
´
Angulo
entre d y e = arccos( √
).

√
√
57, ||e|| = 133, ||f || = 5.

2 7581

´
√
Anguloentre e y f = arccos( 10113
).
√ 133
−
57
´
Angulo
entre f y d = arccos( 10 ).
Sean u,v,w tres vectores en R3 tales que u×v = (1, 1, 1), v ×w = (1, 0, −2) y v es ortogonal
tanto a u como a w.Encuentre
• u × (u × w + w × u)

→
−
=u × (u × w + −u × w) = 0 .

• v × (u × w)

→
−
→
−
=v × (tv) = t(v × v) = t 0 = 0 , donde t es un escalar. N´otese que v es ortogonal

tanto a u como a w, y como elproducto cruz entre u y w es tambi´en ortogonal a
ambos, tenemos que u debe ser paralelo a u × w. Por lo tanto, usando la definici´on
de vectores paralelos se lleg´o al resultado.
• (u × v) × w + (v × u) ×w

→
−
= (−v × u) × w + (v × u) × w = 0

• (u × w) · v + u · (v × w)

→
−
=u · (w × v) + u · (v × w) = u · (−u × w) + u · (v × w) = −u · (u × w) + u · (v × w) = 0

• u × (u + v)
=u × u + u × v = (1,1, 1).
• v × (2v − 5w + 3u)
=2v × v − 5v × w + 3v × u = −5(1, 0, −2) + 3(−1, −1, −1) = (−8, −3, 7).
1

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2

→
−
→
−
−c = (−3, 0, 2)
a = (1, 2, 3), b = (−1, 2,0), →
Encuentre lo siguiente usando los anteriores vectores en R3 :
• La norma de cada uno.
√ √ √
14, 5, 13
→
−
→
−
−
−c .
• El producto punto →
a con b ; y el de b con →
3,3

→
−
−
−c y →
−
• El...