ejercicios resueltos rectas y planos

1

Prof. P. Guzmán S.

2

PRESENTACION

Se presenta esta colección de ejercicios resueltos sobre rectas y planos
como un medio de facilitar el aprendizaje por parte del estudiante.
Es una edición previa de uso interno para los alumnos UTEM
Es posible se hayan deslizado errores al escribir estas notas, se solicita
reportarlas a: pguzman@utem.cl, en respuesta a su colaboración recibirámaterial relativo al tema.
Espero que estos apuntes cumplan su objetivo y le ayuden a
comprender una materia se suyo difícil
Que tenga un buen semestre.

Prof. Patricio Guzmán Sereño

Santiago:

Abril 2008

Prof. P. Guzmán S.

3

EJERCICIOS
RECTAS

Y

RESUELTOS
PLANOS

→
→
"Ñ 3Ñ Sean E Ð$ß &ß (Ñ à F Ð"ß #ß  $Ñ ß Encuentre la
→
→
→
→
proyección de À E sobre F , deF sobre E
→ ⎯→
33Ñ Encuentre el coseno del ángulo formado por F y FE
→ → →
→
→ →
Solución: 3Ñ T Ð&ß  $ß (Ñ
ÐBß Cß DÑ œ Ð#  &>ß #  $>ß  %  (>Ñ Ç
B œ #  &>,
B#
&

œ

C#
$

C œ #  $>, D œ  %  (>.Ecuaciones paramétricas
œ

D%
(

œ > .Ecuaciones Simétricas

Un conjunto de números directores de
L EF : &ß  $ ß (à L

EF

¼ ÐQ Ñ

Prof. P. Guzmán S.

6

SeaPÐBß Cß DÑ − ÐQ Ñß plano pedidoÞ L T U ß tiene como un conjunto de
números directores a: B  &ß C  "ß D  # .
Como P EF es ¼ a toda recta del plano pedido se tiene que À
P EF ¼ L T U Ä &ÐB  &Ñ  $ÐC  "Ñ  (ÐD  #Ñ œ !
Luego:
&B  $C  (D  #&  $  "% œ !
Ecuación del plano pedido ÐQ Ñ. &B  $C  (D  "% œ !.
GÐ  &ß "ß #Ñ − al plano pedido puesto que
&·Ð  &Ñ  $·Ð"Ñ  (·Ð#Ñ  "% œ ! #&  $  "%  "% œ !

C(-5 ,1 ,2 )
B

A

P(x, y ,z)

Prof. P. Guzmán S.

7

%Ñ 3Ñ Encuentre la ecuación del plano ÐKÑ que pasa por:
T Ð#ß !ß !Ñ ß UÐ!ß #ß !Ñß VÐ!ß !ß #Ñ
33Ñ Encuentre la ecuación de la recta que pasa por LÐ$ß $ß $Ñ
y que es normal al planoÐT Ñ
Z
R(0,0,2)

X
P(2,0,0)

Q(0,2,0)

Y

⎯→
⎯→
T U œ Ð  #ß #ß !Ñ T V œ Ð  #ß !ß #Ñ
â
4
â 3
⎯→ ⎯→
â
T U‚ T V œ Ð  #ß #ß !Ñ ‚ Ð  #ß !ß #Ñ œ â  # #
â
â # !
œ 3Ð%  !Ñ  4Ð  %  !Ñ  5Ð!  %Ñ

â
5â
â
!⠜
â
#â

œ Ð%ß %ß %Ñ vector normal al plano pedido
Sea À LÐBß Cß DÑ − al plano pedido ÐKÑß P
directores a: B  #ß C  !ß D  ! à
Luego :

TL

à tiene como números

%·Ð B  #Ñ  %·Ð C  !Ñ  %·ÐD  !Ñ œ !
%B  %C  %D  ) œ !.

Es la ecuación del plano pedido satisfacen laecuación.
%B  %C  %D  ) œ ! .
%·Ð#Ñ  !  !  ) œ ! , !  %·Ð#Ñ  !  ) œ !, !  !  %·Ð#Ñ  ) œ !
Otra solución: de

B
+



C
,



D
-

œ ", se tiene,

Prof. P. Guzmán S.

B
#



C
#



D
#

œ"

8

33Ñ Sea Q ÐBß Cß DÑ − a la recta PX normal al plano ÐKÑ À LÐ$ß $ß $Ñ − PX
Luego PX À ÐBß Cß DÑ œ Ð$ß $ß $Ñ  >Ð%ß %ß %Ñ

&Ñ Un plano (M) pasa por Ð"ß ß #ß"Ñ y UÐ#ß "ß $Ñ y es
perpendicular al plano À ÐX Ñ. $B  #C  $D  ' œ ! .
Encuentre su ecuación
3, -2, 3
N

2

P
(1,2,1

N

a ,b ,c
1

Q
( 2,1,3)
(T)

H(x ,y,z )
(M)

L T U à − ÐQ ÑÞ Un conjunto de números directores es: "ß  "ß #
L T U ¼ N" Ä +  ,  #- œ !
R# ¼ R" Ä
$+  #,  $- œ !
Prof. P. Guzmán S.

9

Se tiene entonces que À
Luego. Si - œ ".
+ œ "à

+-œ!Ä + œ -

,  $- œ ! Ä , œ $-ß

,œ$à

-œ-

-œ"

Es un conjunto de números directores de N"
PT L − Ð Q Ñß un conjunto de números directores de PT L es:
B  "ß C  # ß D  " À Como R" ¼ PT L se tiene que:
"·ÐB  "Ñ  $·Ð C  #Ñ  "·Ð D  "Ñ œ ! Ä B  $C  D  ) œ ! Þ
es la ecuación del plano ÐMÑÞ
En efectoÞ PÐ"ß #ß "Ñ y UÐ#ß "ß $Ñ − Ð Q Ñ , puesto que:
"  $·Ð#Ñ  "  ) œ !Þ #  $·Ð"Ñ $  ) œ !
Números directores de la Normal N" À " ß $ ß "
Números directores de la Normal N# À $ß  #ß $
LuegoÞ "·$  $·Ð  #Ñ  $ œ ! , (M) ¼ (T)
'Ñ L" À recta que pasa por : PÐ$, #,  "Ñ QÐ#ß *ß  #Ñ
L# À recta que tiene como un conjunto de números
directores a À "ß  #,  # .
Encuentre un conjunto de números directores de
una línea ¼ a L" C L #
Solución.
L" : tiene como un...