ejercicios de rectas y planos en el espacio

IES Antonio Mª Calero

Dpto. Matemáticas. A. Castro Galán
2º Bach-CT

Ejercicios de rectas y planos en el espacio.
1. Determina las coordenadas de un punto D del espacio de manera que el cuadrilátero ABCD
sea un paralelogramo, siendo: A(1,2,0), B(2,0,3) y C(3,3,4). Solución: D (2,5,1).
2. Calcula las coordenadas de un punto M del segmento de extremos A(2,2,1), B(5,-1,7) en la
AM 1
= .Solución: M (3,1,3).
razón:
AB 3
3. Escribe las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua de la recta que pasa por el punto
P (2,1,3) y tiene vector director u = (3,3, 2) . Determina cuáles de los siguientes puntos
pertenecen a la misma: A(−1, −2,1); B (8, 7,1) y C (3, 2, 0) .
 x = 2 + 3t

Solución: Ec vectorial:r: ( x, y, z ) = (2,1,3) + t (3,3, 2) . Ec paramétricas:r:  y = 1 + 3t . z = 3 + 2t

x − 2 y −1 z − 3
=
=
. A∈ r , B y C ∉ r .
3
3
2
4. ¿Qué valores deben tener a y b para que los puntos A(2,2,2), B(1,3,5) y C(1,a,b) estén
alineados? Solución: a=3; b=5.
5. ¿Cuáles son las ecuaciones de la recta paralela al eje OX que pasa por el punto P (2,1, 3) ?
¿Y las de la paralela al eje OY por el mismo punto?¿Y al eje OZ?.
Solución:
y =1
x = 2
x = 2
r OXque pasa por P : 
; r OY que pasa por P : 
; r OZ que pasa por P : 
.
z = 3
z = 3
y =1
6. Halla las ecuaciones paramétricas y la ecuación general del plano determinado por el punto
P (2,1, −1) y los vectores u = (1,3, 2) y v = (2, 2, −3).
Ec. Continuas:r:

 x = 2 + s + 2t

Solución: Ec. paramétricas: π ≡  y = 1 + 3s + 2t
 z = −1 + 2s − 3t


y la Ec. General: π ≡-13x+7y-4z+15=0.

7. Calcula la ecuación general del plano determinado por los puntos A(0,1, 3), B (2, 2,1) y C (−1, 0, −2) .
Solución: π ≡ −7 x + 12 y − z − 9 = 0 .
8. Halla el valor de a para que los puntos A(1, 0,1), B (2,1, 3), C (0,1, 2) y D(a, 2a, −1) sean coplanarios.
3
Solución: a = − .
7
π : 3x − 2 y + z − 2 = 0
9. Comprueba que son secantes los planos:
. Halla las ecuaciones continuasde
π ´: 2 x − y + z + 3 = 0

la recta intersección de los mismos. Solución: rango ( A) =2=rango ( A) ⇒ S.C.I ⇒
x + 8 y + 13 z
⇒ Planos secantes ⇒ recta intersección (Ec continuas):
=
=
−1
−1
1
 x = 2 + s − 3t

10. Determina la posición relativa de los planos: π :  y = 1 − 2s + t
y π ´= x − 7 y − 5 z + 10 = 0 ,
 z = 2 + 3s − 2t

Solución: Son paralelos.

1

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2º Bach-CT

11. Estudia la posición relativa de los tres planos π , π ´, π ´´ en los siguientes casos:

− 2z = 0
=0
 π : 3x
 π :x + y +z
 π : 5x + 2 y − z + 3 = 0



a)  π ´: x + y
= 0 b)  π ´: x − 2 y + 3z + 1 = 0 c)  π ´: 3x − y + z − 2 = 0
 π ´´: 9 x + 3 y − 4 z = 0
 π ´´: 2 x − 4 y + 6 z − 1 = 0
 π ´´:10 x + 4 y − 2 z +1 = 0



Solución: a)rango ( A) =2 ⇒ S.C.I. los tres planos tienen una recta común y como los
coeficientes
π , π ´, π ´´ no son proporcionales, son tres planos distintos con una recta común.
b) rango( A) = 2 ≠ rango( A) = 3 ⇒ S .I . los tres planos no tienen puntos comunes, π ´ y π ´´ tienen l
1 −2 3 1
los coeficientes de las variables proporcionales =
= ≠
por lo que son paralelos ⇒son
2 −4 6 −1
dos planos paralelos y el tercero secante a ellos.
c) rango( A) = 2 ≠ rango( A) = 3 ⇒ S .I . los tres planos no tienen puntos comunes, π y π ´´ tienen lo
5 2 −1 3
los coeficientes de las variables proporcionales = =
≠ por lo que son paralelos ⇒ son
10 4 −2 1
dos planos paralelos y el tercero secante a ellos.
 x = 1 + 3t

12. Determina la posición relativa de la recta: r:  y = −2 + t y el plano π : x − y + z + 5 = 0
 z = 2 − 2t

Solución: rango( A) = 2 ≠ rango( A) = 3 ⇒ S .I . ⇒ La recta y el plano son paralelos.
x − 2 y + 2z − 3 = 0
13. Comprueba que la recta: r : 
y el plano π : 2 x − y − 3 z − 2 = 0 son
− x + 3 y − z + 1 = 0
secantes, y calcula las coordenadas del punto de intersección.
Solución: rango( A) = rango( A) = 3 ⇒ S .C.D. ⇒ La...