Ejercicios Vectoriales
Páginas: 2 (429 palabras)
Publicado: 15 de diciembre de 2012
1. Comprueba el Teorema de Green para fx,y=y-senxi+(cosx)j sobre la curva siguiente
(π2, 1)
(0, 0) (π2, 0)
SOLUCIÓN
Según el Teorema de GreenMdx+Ndy=(∂N∂x-∂M∂y)dxdy ahora veamos clarita el ejercicio
M=y-senx N=cosx Ahora vemos que
∂N∂x=-senx También ∂M∂y=1 entonces
Mdx+Ndy=(∂N∂x-∂M∂y)dxdy=(-senx-1)dydx Aplicando los límites de laregión
x=0π2y=02xπ(-senx-1)dydx=x=0π2-ysenx-ydx de 0 a 2xπ=0π2-2xπsenx-2xπdx=
-2π-xcosx+senx-x2π de 0 a π2=-2π-π4
Hice algunos pasos al mismo tiempo, cualquier duda me dices
2. Determine laecuación del plano tangente a la superficie x2y+2xy=4 en el plano (2, -2, 3)
SOLUCION
Aplicando el operador diferencial vectorial NABLA
∇x2y+2xy=∂x2y+2xy∂xi+∂x2y+2xy∂yj+∂x2y+2xy∂zk=2xy+2yi+x2+2xj+0k
La normal a la superficie en el punto 2, -2, 3 es 22(-2)i+22+2(2)j+0k=
-8i+8j+0k
La ecuación de un plano que pasa por un punto cuyo vector posición es r0 y es perpendicular a lanormal N es r-r0∙N=0
Finalmente la ecuación pedida es
xi+yj+zk-2i-2j+3k∙(-8i+8j+0k)=0
(x-2)i+y+2j+(z-3)k∙(-8i+8j+0k)=
-8x-2+8(y+2)=0
Este tipo de ejercicio lo hicimos anteriormenteasí que no creo que tengas problemas para entenderlo, ¿verdad clarita?
3. Encuentre la derivada de la función fx, y, z=senxy2z3 en la dirección del vector π, π2, π. Evalúela en π2,π2, π2
SOLUCION
Bueno clarita este es el más largo, pero empecemos
Aplicando el operador diferencial vectorial NABLA
∇senxy2z3=∂senxy2z3∂xi+∂senxy2z3∂yj+∂senxy2z3∂zk=cosxy2z3i+2ycosxy2z3j+(3z2cosxy2z3)k
Ahora evaluando en el punto π2, π2, π2 tenemos que
cosπ2π22π23i+2π2cosπ2π22π23j+3π22cosπ2π22π23k=
cosπ26i+πcosπ26j+3π22cosπ26k
El vector unitario en la dirección π,π2, π es
πi+π2j+πkπ2+π22+π2=πi+π2j+πk2π2+π24=πi+π2j+πk9π24=πi+π2j+πk3π2=2πi+πj+2πk3π=23i+13j+23k
Finalmente la derivada pedida es
cosπ26i+πcosπ26j+3π22cosπ26k∙23i+13j+23k...
(π2, 1)
(0, 0) (π2, 0)
SOLUCIÓN
Según el Teorema de GreenMdx+Ndy=(∂N∂x-∂M∂y)dxdy ahora veamos clarita el ejercicio
M=y-senx N=cosx Ahora vemos que
∂N∂x=-senx También ∂M∂y=1 entonces
Mdx+Ndy=(∂N∂x-∂M∂y)dxdy=(-senx-1)dydx Aplicando los límites de laregión
x=0π2y=02xπ(-senx-1)dydx=x=0π2-ysenx-ydx de 0 a 2xπ=0π2-2xπsenx-2xπdx=
-2π-xcosx+senx-x2π de 0 a π2=-2π-π4
Hice algunos pasos al mismo tiempo, cualquier duda me dices
2. Determine laecuación del plano tangente a la superficie x2y+2xy=4 en el plano (2, -2, 3)
SOLUCION
Aplicando el operador diferencial vectorial NABLA
∇x2y+2xy=∂x2y+2xy∂xi+∂x2y+2xy∂yj+∂x2y+2xy∂zk=2xy+2yi+x2+2xj+0k
La normal a la superficie en el punto 2, -2, 3 es 22(-2)i+22+2(2)j+0k=
-8i+8j+0k
La ecuación de un plano que pasa por un punto cuyo vector posición es r0 y es perpendicular a lanormal N es r-r0∙N=0
Finalmente la ecuación pedida es
xi+yj+zk-2i-2j+3k∙(-8i+8j+0k)=0
(x-2)i+y+2j+(z-3)k∙(-8i+8j+0k)=
-8x-2+8(y+2)=0
Este tipo de ejercicio lo hicimos anteriormenteasí que no creo que tengas problemas para entenderlo, ¿verdad clarita?
3. Encuentre la derivada de la función fx, y, z=senxy2z3 en la dirección del vector π, π2, π. Evalúela en π2,π2, π2
SOLUCION
Bueno clarita este es el más largo, pero empecemos
Aplicando el operador diferencial vectorial NABLA
∇senxy2z3=∂senxy2z3∂xi+∂senxy2z3∂yj+∂senxy2z3∂zk=cosxy2z3i+2ycosxy2z3j+(3z2cosxy2z3)k
Ahora evaluando en el punto π2, π2, π2 tenemos que
cosπ2π22π23i+2π2cosπ2π22π23j+3π22cosπ2π22π23k=
cosπ26i+πcosπ26j+3π22cosπ26k
El vector unitario en la dirección π,π2, π es
πi+π2j+πkπ2+π22+π2=πi+π2j+πk2π2+π24=πi+π2j+πk9π24=πi+π2j+πk3π2=2πi+πj+2πk3π=23i+13j+23k
Finalmente la derivada pedida es
cosπ26i+πcosπ26j+3π22cosπ26k∙23i+13j+23k...
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