Ejercicios G. Analítica

Ejercicios resueltos de la Recta

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y tiene un ángulo de inclinación de 135º.

SOLUCION: Graficamos



La ecuación de la recta se busca por medio de la siguiente expresión;



Dicha ecuación es conocida como La Ecuación de la recta con un punto dado. Como conocemos el punto P(4,-1) podemos calcular dicha recta, perotambién es necesario determinar el valor de la pendiente m, la cual calcularemos de la siguiente forma:
m= Tg (135º); donde m= -1

Sustituimos los valores en la expresión y obtenemos;
Y- (-1)= -1(X-4);
Y+1= -X+4;
Y = - X - 3

En forma implícita

X + Y – 3 = 0
2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (- 3. I) y es paralela a la recta determinada por los dos puntos (0,- 2) y (5, 2) .

SOLUCION:
Como se conoce un punto de la recta requerida, solamente es necesario obtener su pendiente que, según sabemos, es la misma que la de la recta paralela L1 que pasa por los dos puntos (0. - 2). (5, 2)

La pendiente de L1 es, = 
La ecuación de la recta a utilizar
Y- 1= (X+3)

4 x - 5 y + 1 7 = 0

3. Observa las siguientes ecuaciones:
x = –3 + 3t
y = 2tComprobar que, dando a t los valores 0, 1, 3, 4, 5, se obtienen puntos que están todos sobre una recta ¿Qué método está aplicando para trazar la recta?

Solución:
El método a aplicar es el de Tabulación.
Es por ello que tabulamos los valores dados de t y sustituyendo en las ecuaciones anteriores obtenemos las coordenadas de cada uno de ellos:
Ejemplo:

Para t=0

x = –3 + 3(0)= -3
y= 2(0)= 0 (-3, 0)

Aplicando el mismo procedimiento para cada uno de los valores dados de t, obtenemos la siguiente información:

t
0
1
3
4
5
(x,y)
(-3, 0)
(0,2)
(6,6)
(9,8)
(12,10)


Graficamos los valores:



Por medio de la gráfica podemos demostrar que los puntos obtenidos si están todos sobre una misma recta.



4. Halla la ecuación implícita de la recta:

x =5 – 3t
y = –1 + 2t


Solución: Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3, y las sumamos:

2x = 10 – 6t
3y = –3 + 6t
___________
2x + 3y = 7

La ecuación implícita es: 2x+3y -7 = 0



5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el siguiente par de puntos (–7, 11), (1, 7)

Solución:
Por medio de los puntos dados buscamos el valor de la pendiente aplicandola formula correspondiente y obtenemos que:

m= -1/2

Luego sustituimos los datos en la fórmula de la ecuación de la recta dado dos puntos, y obtenemos:

Tomamos el punto (1,7)

y - 7= -1/2 (x-1) y-7 = -1/2x +1/2 y= -1/2x +15/2

en forma implícita tenemos: x + 2y – 15 = 0


6. Hallar dos puntos de la recta y = –3x + 4 y Calcular a partir de ellos supendiente, y comprueba que es la que corresponde a esa ecuación.

Solución:
Damos valores arbitrarios a x y obtenemos:

Si x = 0 → y = 4 → punto A (0, 4)
Si x = 1 → y = 1 → punto B (1, 1)

Calculando la pendiente con los puntos calculados anteriormente se tiene que
m = –3

Efectivamente, podemos comprobar que la pendiente es la de la recta dada
y = –3x + 4.


7. Hallar la distancia deQ(–3, 4) a la siguiente recta: 2x + 3y = 4

Solución: Aplicando la ecuación de la distancia ya conocida obtenemos que;

(igualamos a cero la ecuación) 2x + 3y – 4 = 0 r


d(Q, r ) = (2√13)/13 ≈ 0,55

La distancia entre el punto Q (-3,4) y la ecuación llamada r, es de aproximadamente 0, 55.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicios de la Recta

1. Dibujar la rectacon ecuación y = 4/5X +3.

2. Un punto dista siete unidades del origen del sistema de coordenadas y la pendiente de la recta que lo une al punto A(3,4) es 1/2. Determinar las coordenadas del punto.

3. Un triángulo equilátero tiene su base en el eje de las x y su vértice en el punto C(3,5). Determinar las ecuaciones de sus lados.

4. Una diagonal de un cuadrado une los vértices A(1,2) y...