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GUIA DE EJERCICIOS
Unidad II: Ecuaciones e inecuaciones. Aplicaciones.







Universidad Metropolitana
Elementos de Matemática 2


I. Ecuaciones lineales y ecuaciones racionales reducibles a lineales con una variable.

Definiciones.

Ecuación lineal en una variable: una ecuación lineal en una variable (en este caso en la variable x) es una es una expresión de la forma ax +b = c, donde a, b y c son números reales, con a distinto de cero.

Solución de una ecuación: la(s) solución(es) de una ecuación es el(los) valor(es) que al reemplazar la variable hacen que la igualdad se cumpla.

Conjunto solución: conjunto formado por el(los) valor(es) que satisface(n) una ecuación dada.

Ecuaciones equivalentes: son aquellas que tienen el mismo conjunto solución.Ecuación racional: es una ecuación en la que aparecen fracciones algebraicas. (cociente de polinomios).

Ecuación racional reducible a lineal (en una variable): es una ecuación racional cuyo proceso de resolución conduce a una ecuación lineal en una variable.


Clasificación de las ecuaciones lineales en una variable. Según su conjunto solución, una ecuación lineal se clasifica de la siguientemanera:

Condicional: su conjunto solución tiene un elemento.
Contradicción: la ecuación no tiene solución. El conjunto solución es Ø.
Identidad: cualquier número real satisface la ecuación. El conjunto solución es el conjunto de los números reales R.

Ejemplo 1. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones. Decida si se trata de una ecuación condicional, identidad o contradicción.

a)X + 6 = -4(x + 1)
x + 6 = -4x – 4
x +4x = -4 - 6
5x = -10  x = -2

Para constatar que la solución es -2, se verifica sustituyendo este valor en la ecuación original
x + 6 = -4(x+1)
-2 +6 = -4(-2 +1)
4 = -4(-1)
4 = 4
El enunciado obtenido es verdadero. La solución es -2 y el conjunto solución es {-2}.
La ecuación X + 6 = -4(x + 1) es una ecuación condicional.
b) 7(x –5) + 2 = 7x - 33
7x – 35 + 2 = 7x - 33
7x – 33 = 7x – 33

Ambos lados de la ecuación son idénticos, por lo que cualquier número real haría que la ecuación se cumpla. El conjunto solución es R y la ecuación es una identidad.

c) 7(x – 5) + 2 = 7x + 5
7x – 35 + 2 = 7x + 5
7x – 33 = 7x + 5
7x – 7x = 5 + 33
0 = 38

Como el resultado obtenido es falso, ya que 0 ≠ 38, laecuación no tiene solución. El conjunto solución es Ø y la ecuación 7(x – 5) + 2 = 7x + 5 es una contradicción.

Ejemplo 2. Decida si las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.

a) El conjunto solución de la ecuación es {9}.

Respuesta. Para resolver la ecuación se factorizan los denominadores de la expresión:

, se multiplica ambos miembrospor el mínimo

común múltiplo que es (x - 4)(x – 3) y se simplifica:



3(x - 3) = 2(x - 4) + 8, se realizan los productos indicados y se resuelve la ecuación 3x – 9 = 2x – 8 + 8

3x – 2x = 9  x = 9.
Para constatar que la solución es 9, se verifica sustituyendo este valor en la ecuación original







El enunciado obtenido es verdadero. La soluciónes 9 y el conjunto solución es {9}, por lo tanto la proposición es Verdadera.

b) es equivalente a la ecuación x + 3 = 4x.

Respuesta. Recordemos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

Para resolver la ecuación se eliminan los paréntesis
aplicando la propiedad distributiva y se suman los términos semejantes

3x – 3 - 2x - 6= 4x  x – 9 = 4x x – 4x = 9
-3x = 9 y finalmente se obtiene que x = -3.
Para constatar que la solución es -3, se verifica sustituyendo este valor en la ecuación original
  -12 = -12.
El conjunto solución de la ecuación es {-3}.
A continuación se resuelve la ecuación x + 3 = 4x

x + 3 = 4x  x – 4x = -3  -3x = -3  x = 1
Se verifica: 1 + 3 = 4(1)  4 = 4. El conjunto...