Elípticas

Carlos Ivorra Castillo

CURVAS EL´ IPTICAS

La aritm´tica es una clase de conocimiento en e el que las mejores naturalezas deben ser entrenadas, y que no debe ser abandonado. ´ Platon

´ Indice General
Introducci´n o Cap´ ıtulo I: Preliminares de geometr´ algebraica ıa 1.1 Variedades afines . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Variedades proyectivas . . . . . . . . . . . . . . 1.3Variedades cuasiproyectivas . . . . . . . . . . . 1.4 Variedades complejas . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Curvas proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . Cap´ ıtulo II: La geometr´ de las ıa 2.1 Ecuaciones de Weierstrass . 2.2 La estructura de grupo . . . 2.3 C´bicas singulares . . . . . u 2.4 Isogenias . . . . . . . . . . . 2.5 Curvas conjugadas . . . . . curvas el´ ıpticas . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix 1 1 8 10 14 19 31 31 47 53 58 63 75 75 81 83 85 96

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . .. .

Cap´ ıtulo III: El ´lgebra de las curvas el´ a ıpticas 3.1 Las multiplicaciones enteras . . . . . . . . . 3.2 La isogenia dual . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Curvas supersingulares . . . . . . . . . . . . 3.4 Los m´dulos de Tate . . . . . . . . . . . . . o 3.5 El anillo de endomorfismos . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. .. . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Cap´ ıtulo IV: Curvas el´ ıpticas sobre cuerpos finitos 99 4.1 Puntos racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.2 Curvas supersingulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.3 El n´mero de curvas sobre un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . 108 u Cap´ ıtulo V: Grupos formales5.1 Desarrollos de Taylor en O . . . . . . . 5.2 Grupos formales . . . . . . . . . . . . . 5.3 Grupos formales sobre cuerpos m´tricos e 5.4 Grupos formales en caracter´ ıstica prima v 115 115 121 129 133

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

vi

´ INDICE GENERAL 137 138 144 156161 165 165 174 180 186 193 203 204 219 226 240 251 251 255 257 263 274 283 283 286 296 303 312 317 317 320 327 334 343 352 357 357 362 370 376 383

Cap´ ıtulo VI: Curvas el´ ıpticas sobre cuerpos locales 6.1 Ecuaciones minimales . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Reducci´n de curvas el´ o ıpticas . . . . . . . . . . . . 6.3 Puntos enteros y puntos de torsi´n . . . . . . . . . o 6.4 La topolog´m´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa e Cap´ ıtulo VII: Curvas el´ ıpticas sobre cuerpos 7.1 El discriminante m´ ınimo . . . . . . . . . . 7.2 El subgrupo de torsi´n . . . . . . . . . . . o 7.3 El teorema d´bil de Mordell-Weil . . . . . e 7.4 Alturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 El teorema de Mordell-Weil . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .num´ricos e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cap´ ıtulo VIII: El...