el agua




Una Parábola es el conjunto de puntos del plano que equidistan de una recta fija y de un punto fijo que no está en ella.
*La recta fija se llama directriz de la parábola y el punto fijo se llama foco.

1.- Encuentra el lugar geométrico de los puntos la recta l cuya Ec. Es x=-1
Solución:
Refiriéndonos a la expresión “de los puntos”; supongamos que P(x,y) sea un punto de dichogeométrico.
Por definición de parábola se sabe que:
d( P,F ) = d( P, l ) (A)
En (A) emplearemos dos fórmulas importantes; a saber:
*La fórmula de la distancia entre dos puntos por la expresión: d( P,F );y, la fórmula de la distancia de un punto a una recta, por la expresión: d( P, l ) , luego:
= (B)
En la Ec. (B);y, en particular, en el miembro de la derecha hacemos uso del punto P(X,Y)yde la recta : x+1= 0 : luego A=1,B=0 y C=1

=
( ) a = ()2
(x-1)2+y2 =x2+2x+1
X2—2X+1+y2 = x2+2x+1
Y2 -4x = 0
Y2 = 4x
Por lo tanto el lugar geométrico buscando es el conjunto de los puntos y solo de aquellos puntos que habrán de satisfacer la Ec. Y2=4X










Parábolas Horizontales.
Consideremos unaparábola que tiene su foco en el eje supongamos que en el punto F(p,0) donde p>0; y cuya directriz de la parábola es una recta vertical cuya Ec. Es:
X=-p
Ver Figura.










Por ejemplo.-
Hallar el modelo de Ec. De la parábola cuando el vértice esta en origen, el foco se encuentra en la parte positiva y el eje X (figura 2) y la directriz es la paralela del eje Y, pero corta aleje X en la parte negativa.
Solución.-
Para que el punto P pertenezca a la parábola de la figura -2- debe satisfacer la Ec:
D(P,F) = (P,) (A)
Recuerde que las coordenadas de P y F son respectivamente P(x,y) F(p,0); además la recta tiene por Ec. X=-P.
d(P,F) =

d(P,) = ; Aquí: x+P=0,de
d(P,) =
d(P,)= x+P
Sustituyendo la d(P,F) y la d(P,) EN (A), se tiene que:


(x-P)2+Y2 =X22Px + P2
X2-2Px+P2+y2 = x2+2Px + P2
Y2-4Px = 0


(B) Es la Ec. De la parábola horizontal con las características descritas en el “por ejemplo”.



En la figura 2. Se observa que la parábola pasa por el punto medio entre el foco F y la directriz. Este puntomedio se llama vértice y distancia p unidades tanto del foco como de la directriz.
El eje de simetría.- es la recta que une el vértice V y el foco F, y que además es perpendicular a la directriz.
Un segmento de recta que une dos puntos de una parábola se conoce como cuerda de la parábola.
La cuerda que pasa por el foco y es paralela a la directriz y consecuentemente es perpendicular al eje desimetría, se llama lado recto.
La longitud del lado recto se calcula como:
Partamos de y2=4Px









Las coordenadas, por ejemplo, de P en la figura 3 son P (p,y) y obviamente este punto de satisfacer la Ec.
y2 = 4Px
Así y2 = 4(P)P
y2 = 4P2
Simplificando se tiene:
y2 = (2P)2y =2P
Así el punto P tiene como coordenadas P(p,2p). Por la simetría de la parábola el punto P´ tiene como coordenadas P´(p,-2p).
Calculando el ancho focal (longi. Lado recto.)
El ancho focal es la distancia comprendida entre Py P´.
PP´ =
PP´=
PP´ = 4PHallar el modelo de la Ec. de la parábola cuando el vértice esta en el origen,el foco se encuentra en la parte negativa del eje X y la directriz es paralela al eje Y, pero corta al eje X en su parte positiva.
Solución.-
El foco es F (-p,0), y la directriz es x=p. Pero, para que un punto P de coordenadas (x,y) pertenezca a la parábola, debe satisfacer a la Ec....