El arte de plantear ecuaciones

1. El arte de plantear ecuaciones
2. La vida de Diofanto
3. El caballo y el mulo
4. Los cuatro hermanos
5. Las aves de la orilla
6. El paseo
7. El artel de segadores
8. Las vacas en el prado
9. El problema de Newton
10. El cambio de las manecillas del reloj
11. Coincidencia de las saetas
12. El arte de adivinar números
13. Un supuesto absurdo
14. La ecuación piensa por nosotros
15. Curiosidadesy sorpresas
16. En la peluquería
17. El tranvía y el peatón
18. El barco y la balsa
19. Dos botes de café
20. Velada
21. Exploración marina
22. En el velódromo
23. Carrera de motocicletas
24. Velocidad media
25. Máquinas de cálculo rápido
1. El arte de plantear ecuaciones
El idioma del álgebra es la ecuación. «Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades,basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico», escribió el gran Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal. Isaac Newton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la traducción. He aquí uno de ellos:
En la lengua vernácula:
En el idioma del álgebra:
Un comerciante tenía una determinada suma de dinero
x
El primer año gastó 100 libras
x - 100Aumentó el resto con un tercio de éste

Al año siguiente volvió a gastar 100 libras

Y aumentó la suma restante en un tercio de ella

El tercer año gastó de nuevo 100 libras

Después de que hubo agregado su tercera parte

El capital llegó al doble del inicial

Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la última ecuación.
La solución de una ecuación es, confrecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación a base de los datos de un problema suele ser más difícil. Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir “la lengua vernáculo a la algebraica”. Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fácil traducción. Las traducciones pueden ser muy distintas porel grado de su dificultad, como puede convencerse el lector a la vista de los ejemplos de ecuación de primer grado expuestos.
2. La vida de Diofanto
Problema
La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejerciciomatemático. Reproducimos esta inscripción:
En la lengua vernácula:
En el idioma del álgebra
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡Oh milagro!, cuan larga fue su vida,
x
Cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia.
x/6
Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubrióse su barbilla
x/12
Y la séptima parte de suexistencia transcurrió en un matrimonio estéril.
x/7
Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito,
5
Que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan solo la mitad de la de su padre
x/2
Y con profunda pena bajó a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo

Dime cuantos años había vivido Diofanto cuando le llegó lamuerte.
Solución
Al resolver la ecuación y hallar el valor de la incógnita, 84, conocemos los siguientes datos biográficos de Diofanto: se casó a los 21 años, fue padre a los 38, perdió a su hijo a los 80 y murió a los 84.
3. El caballo y el mulo
Problema
He aquí un antiguo ejercicio muy sencillo y fácil de traducir al idioma del álgebra.
“Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre suslomos pesados sacos.
Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: “¿De qué te quejas?
Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga se igualará a la mía”. ¿Decidme, doctos matemáticos, cuántos sacos llevaba el caballo, y cuántos el mulo?”.
Solución
Si yo tomara un saco
x - 1
Mi carga
y + 1
Sería el doble que la tuya....