El Contenido De La Lógica Matemática

El contenido de la l´ogica matem´atica
Su función es la de servir de fundamento al razonamiento matem´atico, evitando ambig¨uedades y contradicciones
mediante la determinaci´on absolutamenteprecisa y rigurosa de lo que es
un razonamiento matem´atico v´alido. Pero cuando la necesidad obliga al estudio
de un determinado campo, el esfuerzo pronto es premiado con nuevos resultados
inesperados:Si uno tiene paciencia o un libro de geometr´ıa a mano, puede coger una regla
y un comp´as y dibujar un pent´agono regular. Si ahora prueba suerte con un
hept´agono no encontrar´a ning´un libro deayuda y la paciencia servir´a de muy
poco. Puede probarse que es imposible construir un hept´agono regular sin m´as
ayuda que una regla (no graduada) y un comp´as, pero, para demostrarlo no
bastacon coger una regla y un comp´as y terminar no construy´endolo. Es necesario
reflexionar sobre qu´e es construir con regla y comp´as, dar una definici´on
precisa, comprobar que ´esta se correspondecon lo que usualmente se entiende
por construir con regla y comp´as y, finalmente, ver que eso es imposible para el
caso del hept´agono regular.
Igualmente, el tener una noci´on precisa dedemostraci´on nos permite comprender
y resolver problemas que de otro modo ser´ıan inabordables: cuando
un matem´atico hace una conjetura, puede meditar sobre ella y, si tiene suerte,
la demostrar´a o larefutar´a. Pero tambi´en puede ser que no tenga suerte y no
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consiga ni lo uno ni lo otro. Esto ´ultimo puede significar dos cosas: que no es
lo suficientemente buen matem´atico o que pretend´ıa unimposible. Cantor lleg´o
a la locura en gran parte por la frustraci´on que le produc´ıa el no lograr decidir
la verdad o falsedad de una de sus conjeturas, la llamada hip´otesis del continuo.
Conayuda de la nueva l´ogica se ha probado que ´esta no puede probarse
ni refutarse, y no se trata de un caso aislado. Sucede que estas afirmaciones no
surgen s´olo en teor´ıa de conjuntos, donde son...