El Cuadrado Mágico De Benjamin Franklin
Páginas: 35 (8746 palabras)
Publicado: 26 de septiembre de 2011
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EL CUADRADO MÁGICO DE BENJAMIN FRANKLIN
Se atribuye al pensador, padre de la Patria de los Estados Unidos de Norte América, a construcción del cuadrado mágico que ilustra esta publicación y que se reproduce a continuación:
Curiosidad matemática que guarda en su contenido la capacidad del genio. A continuación explicare algunas curiosidades que muestran la importancia de estaconstrucción:
PROPIEDADES:
1. Es un cuadrado de 8 filas por 8 columnas, contiene por tanto 64 espacios.
2. Está llenado por enteros positivos, naturales del 1 al 64, uno en cada espacio.
3. Los elementos de cada fila suma 260.
4. Los elementos de cada columna suman también 260.
5. Si de la construcción tomamos cualquier sub cuadrado de orden 2 por 2, como eldel ejemplo que se muestra: suman siempre 130, la mitad del total por fila y por columna a sabiendas de que es posible obtener 49 sub cuadrados de este orden.
6. Si del cuadrado estudiado se toman sub cuadrados de orden 4 por 4 como el de la figura 2, sus elementos siempre sumara 520, el doble de la suma de los elementos por fila o por columna, existen 25 sub cuadrados de ese tipo.7. Si del cuadrado de Franklin se extraen sub cuadrados de 6 por 6, como el que se muestra en la figura 3, sus elementos siempre sumara 1170, 4.5 veces la suma de cada fila o columna, existen 9 sub cuadrados con de ese orden.
Nota: Entonces debe anotarse que el orden de los sub cuadrados que cumplen la condición de que sus elementos sumen un valor constante, cuando el orden es impar,esto no se cumple.
8. Si definimos como diagonal de dos sentidos a las que van hacia abajo e inician de izquierda a derecha las primeras cuatro columnas y de derecha a izquierda las otras cuatro, reubicando las celdas de las tres primeras columnas a la derecha del cuadrado de tal forma de completar las 8 diagonales (como se muestra en las líneas trazadas en la figura 4). los elementos decada uno de las diagonales, siempre suman 260, valor igual a lo que suman los elementos de todas las filas y columnas.
Ejm: si sumamos los elementos de la primera diagonal seria:
52+3+5+54+10+57+63+16=260
9. Diagonales semejantes son perfectamente construibles con orientación horizontal, pero de izquierda a derecha, ubicando algunos elementos a la izquierda, de formaque se completen las ocho, de igual forma cada una contiene ocho elementos que a su vez, al igual que el caso anterior, y al igual que los elementos de cualquier fila o columna, sus elementos suman 260, esto se observa en la figura 5, de igual forma si sumamos los elementos de la primera diagonal desde la derecha:
52+19+37+38+26+25+47+16=260
10. Esta propiedad se cumple además endiagonales de doble sentido verticales, si extendemos el cuadrado en elementos en la parte superior, que permitan completar las ocho diagonales, como se observa en la figura 6, los elementos de cada diagonal también suma 260.
Así se puede observar que si sumamos la primera diagonal se tiene:
52+3+5+54+43+28+30+45=260.
|52 |61 |
| 1 |64 |
Además sedebe tener en cuenta que los otros elementos (1, 63 y 64) presentes en el cuadro también cumplen lo de sus combinaciones para filas y columnas.
a. El siguiente cuadro que se construya debería tener en cuenta el numero 3, que respetando las combinaciones de las filas y las columnas construye el cuadro 2, donde se involucra además otros tres elementos (4, 62 y 61), que también cumplen suscombinaciones.
Así también construiremos los se construye los cuadros para el numero 5, que toma los elementos (6, 60 y 59), que se observa en el cuadro 3, en el cuadro 4, contiene los elementos relacionados con el número 7, que son los elementos (8, 57 y 58).
b. Buscamos una distribución simétrica, por lo que el cuadrado se divide en dos partes, una mitad izquierda, de ocho filas por cuatro...
EL CUADRADO MÁGICO DE BENJAMIN FRANKLIN
Se atribuye al pensador, padre de la Patria de los Estados Unidos de Norte América, a construcción del cuadrado mágico que ilustra esta publicación y que se reproduce a continuación:
Curiosidad matemática que guarda en su contenido la capacidad del genio. A continuación explicare algunas curiosidades que muestran la importancia de estaconstrucción:
PROPIEDADES:
1. Es un cuadrado de 8 filas por 8 columnas, contiene por tanto 64 espacios.
2. Está llenado por enteros positivos, naturales del 1 al 64, uno en cada espacio.
3. Los elementos de cada fila suma 260.
4. Los elementos de cada columna suman también 260.
5. Si de la construcción tomamos cualquier sub cuadrado de orden 2 por 2, como eldel ejemplo que se muestra: suman siempre 130, la mitad del total por fila y por columna a sabiendas de que es posible obtener 49 sub cuadrados de este orden.
6. Si del cuadrado estudiado se toman sub cuadrados de orden 4 por 4 como el de la figura 2, sus elementos siempre sumara 520, el doble de la suma de los elementos por fila o por columna, existen 25 sub cuadrados de ese tipo.7. Si del cuadrado de Franklin se extraen sub cuadrados de 6 por 6, como el que se muestra en la figura 3, sus elementos siempre sumara 1170, 4.5 veces la suma de cada fila o columna, existen 9 sub cuadrados con de ese orden.
Nota: Entonces debe anotarse que el orden de los sub cuadrados que cumplen la condición de que sus elementos sumen un valor constante, cuando el orden es impar,esto no se cumple.
8. Si definimos como diagonal de dos sentidos a las que van hacia abajo e inician de izquierda a derecha las primeras cuatro columnas y de derecha a izquierda las otras cuatro, reubicando las celdas de las tres primeras columnas a la derecha del cuadrado de tal forma de completar las 8 diagonales (como se muestra en las líneas trazadas en la figura 4). los elementos decada uno de las diagonales, siempre suman 260, valor igual a lo que suman los elementos de todas las filas y columnas.
Ejm: si sumamos los elementos de la primera diagonal seria:
52+3+5+54+10+57+63+16=260
9. Diagonales semejantes son perfectamente construibles con orientación horizontal, pero de izquierda a derecha, ubicando algunos elementos a la izquierda, de formaque se completen las ocho, de igual forma cada una contiene ocho elementos que a su vez, al igual que el caso anterior, y al igual que los elementos de cualquier fila o columna, sus elementos suman 260, esto se observa en la figura 5, de igual forma si sumamos los elementos de la primera diagonal desde la derecha:
52+19+37+38+26+25+47+16=260
10. Esta propiedad se cumple además endiagonales de doble sentido verticales, si extendemos el cuadrado en elementos en la parte superior, que permitan completar las ocho diagonales, como se observa en la figura 6, los elementos de cada diagonal también suma 260.
Así se puede observar que si sumamos la primera diagonal se tiene:
52+3+5+54+43+28+30+45=260.
|52 |61 |
| 1 |64 |
Además sedebe tener en cuenta que los otros elementos (1, 63 y 64) presentes en el cuadro también cumplen lo de sus combinaciones para filas y columnas.
a. El siguiente cuadro que se construya debería tener en cuenta el numero 3, que respetando las combinaciones de las filas y las columnas construye el cuadro 2, donde se involucra además otros tres elementos (4, 62 y 61), que también cumplen suscombinaciones.
Así también construiremos los se construye los cuadros para el numero 5, que toma los elementos (6, 60 y 59), que se observa en el cuadro 3, en el cuadro 4, contiene los elementos relacionados con el número 7, que son los elementos (8, 57 y 58).
b. Buscamos una distribución simétrica, por lo que el cuadrado se divide en dos partes, una mitad izquierda, de ocho filas por cuatro...
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