EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS ING_AZOCAR

ACERTADO Y CLÀSICO DESARROLLO DE ÀLGEBRA DE NÙMEROS COMPLEJOS
EXCELENTE TRABAJO DELINGENIERO AZOCAR CON DESARROLLO DE DISCUSIONES
Y EJEMPLOS PRÀCTICOS SOBRE EL TEMA

1.1 Introducción.
Los números reales, a pesar de sus excelentes propiedades, presentan una gran deficiencia: noes un cuerpo algebraicamente cerrado, es dedir, no existe ningin número real que verifique la relación x2 + 1 = 0. Por tanto, los matemáticos han sentido la necesidad de "inventarse" un número, quenotaremos por "i", y que tenga la propiedad de que i2 + 1 = 0.

Buscamos un cuerpo que sea algebraicamente cerrado, que contenga a R y tal que i sea un elemento suyo. Como hemos visto, i no pertenece aR, y ha de pertenecer a dicho cuerpo, con lo cual definimos:
C = {z = a + b·i / a,b reales}


Evidentemente, si a + b·i = c + d·i entonces a = c y b = d.

En C se clefinen las operacionesheredadas de R:

Suma:
(a + b·i) + (c + d·i) = a + b·i + c + d·i = (a + c) + (b + d)·i
Producto:
(a + b·i)·(c + d·i) = ac + ad·i + bc·i + bd·i2 = (ya que i2 = -1) = (ac - bd) + (ad + bc)·ies decir, (a + b·i)·(c + d·i) = (ac - bd) + (ad + bc)·i, que es otro número complejo.

Análogamente podemos considerar el conjunto R2, y en él definir las operaciones:

Suma:
(a,b) + (c,d) =(a+c,b+d)
Producto:
(a,b)·(c,d) = (ac-bd,ad+bc)

El desarrollo del tema lo realizaremos en el conjunto C, aunque se puede trasladar fácilmente en todo momento a R2 con las operacionesdefinidas anteriormente.
INDICE

1.2 El cuerpo (C,+,·)
Veamos en primer lugar que (C,+) tiene estructura de grupo abeliano:

Asociativa:
Es evidente que si z1, z2 y z3 son elementos de C, severifica que zl + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3
Elemento neutro:
Es el elemento 0 + 0·i, que lo notaremos por 0 = 0 + 0·i.
Elemento opuesto:
Dado z = a + b·i, a su elemento opuesto lo notaremos...