El Cuerpo De Los N´Umeros Complejos

´ Algebra I (Ingeniero Industrial) - Curso 2008/09

Tema 2: EL CUERPO DE LOS ´ NUMEROS COMPLEJOS

1.

Definici´n y propiedades. Operaciones con n´ meros como u plejos

Se pretende construir un cuerpo1 que contenga naturalmente al de los n´meros reales, cuyas u operaciones sean coherentes con las de R, y en el cual todo elemento admita ra´ cuadrada. ız El conjunto de los n´meros complejos,que denotamos por C, es el plano R2 , es decir, el conjunto u de los pares ordenados (a, b) de n´meros reales. Sin embargo, para facilitar la expresi´n de las u o propiedades anteriores, conviene expresar (a, b) como a + bi, donde la letra i representa el complejo (0, 1). Definici´n.- Se define el conjunto C de los n´meros complejos, como o u C := {a + bi : a, b ∈ R}.

El complejo i se denominaunidad imaginaria. Un n´mero complejo a+bi queda determinado u un´ ıvocamente por los dos n´meros reales a, b que lo definen. Esta expresi´n del n´mero complejo u o u z se denomina forma bin´mica. o A menudo denotaremos cada n´mero complejo por una sola letra, que representa la variable u compleja. Dado z = a + bi ∈ C, con a, b ∈ R, el n´mero real a se llama parte real de z, mientras que el u n´meroreal b se denomina parte imaginaria de z. Se denotan por u Re z = a , Im z = b.

Podemos interpretar geom´tricamente los n´meros complejos como puntos (que denominaree u mos afijos) del plano ordinario, o bien como vectores en dicho plano; esta ultima interpretaci´n ´ o ser´ la que nos permita definir la suma de complejos, que no ser´ sino la suma vectorial en R2 . a a
Un cuerpo es,esencialmente, un conjunto dotado de suma y producto, cuyos elementos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir entre s´ obteni´ndose siempre elementos de dicho conjunto como resultado. Por ejemplo, Q y R ı, e son cuerpos. En la construcci´n del cuerpo de los complejos se repasar´n las propiedades (axiomas constitutivos) que o a deben satisfacer los elementos y operaciones que definen un cuerpo.
1

´Algebra I (Ingeniero Industrial) - Tema 2: El cuerpo de los n´meros complejos u

2

b = Im z
Eje imaginario

z = a+bi

a = Re z

Eje real

Figura 1: N´mero complejo u Definici´n.- Dados dos n´meros complejos (a, b), (c, d) se define su suma como o u (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d), que, en forma bin´mica, se escribe o (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. Definimos su producto como(a, b)(c, d) := (ac − bd, ad + bc), que, en forma bin´mica, queda o (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Como consecuencia de la definici´n del producto, se tiene que o i2 = (0, 1) × (0, 1) = (−1, 0) = −1 + 0 · i = −1. Es decir: los n´meros complejos se suman agrupando sus partes reales e imaginarias, y se multiu plican operando formalmente y teniendo presente que i2 = −1. Geom´tricamente, lasuma de vectores se corresponde con la conocida regla del paralelogramo. e Obviamente, la suma es una ley de composici´n interna en C. Adem´s, satisface de manera o a evidente las siguientes propiedades, heredadas de la suma de n´meros reales: u Propiedades de la suma: 1. Asociativa: ∀z, w, u ∈ C, (z + w) + u = z + (w + u). 2. Elemento neutro: ∃0 = 0 + 0i ∈ C tal que, ∀z ∈ C, z + 0 = 0 + z = z.´ Algebra I (Ingeniero Industrial) - Tema 2: El cuerpo de los n´meros complejos u

3

z = a+bi

z+w = a+c+(b+d)i

w = c+di

Figura 2: Suma de n´meros complejos u 3. Elemento sim´trico (opuesto): ∀z = a + bi ∈ C, ∃ − z = −a + (−b)i ∈ C tal que z + (−z) = 0. e 4. Conmutativa: ∀z, w ∈ C, z + w = w + z. Las cuatro propiedades dichas confieren a C, con la ley de composici´n interna “+”, laestructura de o grupo abeliano. El producto es una ley de composici´n interna en C. Es f´cil comprobar que el producto de o a n´meros complejos satisface, esencialmente, las mismas propiedades que la suma: u Propiedades del producto: Se verifican: 1. Asociativa: ∀z, w, u ∈ C, (zw)u = z(wu). 2. Elemento neutro: ∃1 = 1 + 0i ∈ C tal que, ∀z ∈ C, z · 1 = 1 · z = z. 3. Elemento sim´trico (inverso): ∀z...