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Condiciones de frontera y continuidad para vigas en flexión
Una buena cantidad de estructuras se construyen a base de vigas, vigas que se flexionan o distorsionan por su propio peso o la influencia de alguna fuerza externa. Esta flexión y(x) está determinada por una ecuación diferencial lineal de cuarto orden.
Supongamos que una viga de longitud L es homogénea y tiene sección transversaluniforme en toda su longitud. Cuando no recibe carga alguna, incluyendo su propio peso, la curva que une los centroides de sus secciones transversales es una recta que se llama eje de simetría como se observa en la figura a.
Si a la viga se le aplica una carga en un plano vertical que contenga al eje de simetría como se ve en la figura b

Como se observa en lafigura b está sufre una distorsión y la curva que une los centroides de las secciones transversales se llama curva de flexión o curva elástica o simplemente elástica. La curva de flexión describe la forma de la viga. Supongamos que el eje x coincide con el eje de simetría y que la flexión y(x) medida desde este eje, es positiva si es hacia abajo. En teoría de la elasticidad se demuestra que el momentoflexionante M(x) en un punto x a lo largo de la viga, se relaciona con la carga por unidad de longitud w(x) mediante la ecuación.



Además, el momento flexionante M(x) es proporcional a la curvatura, k de la curva elástica
M(x) = EIk …….2
Donde E y I son constantes, E es el módulo de Young de elasticidad del material de la viga e I es el momento de inercia de la sección transversalde ésta, respecto de un eje llamado eje neutro. El producto EI se denomina rigidez a la flexión.
Según el cálculo diferencial, la curvatura es K = y”/ [1+ (y´)2]3/2 cuando la flexión y(x) es pequeña, la pendiente y´ = 0, de modo que [1+ (y´)2]3/2 » 1, Si k = y”, la ecuación (2) se transforma en M = EIy”. La segunda derivada de esta ecuación es

Aplicamos el resultado de la ecuación 1 pararemplazar en la 3 y vemos que la flexión y(x) satisface la ecuación diferencial de cuarto orden


Las condiciones en la frontera asociada a esta ecuación dependen de la forma en que están sostenidos los extremos de la viga. Una viga en voladizo está empotrada en un extremo y libre en el otro. Un trampolín, un brazo extendido, el ala de un avión y una marquesina son ejemplos comunes de estecaso, pero hasta los árboles, las astas de banderas, los rascacielos y los monumentos pueden trabajar como vigas en voladizo, ya que están empotrados en su base y sufren la fuerza del viento, que los tiende a flexionar. Para una viga en voladizo, la flexión y(x) debe satisfacer las dos condiciones siguientes en el extremo empotrado en x = 0:
y(0) = 0 porque no hay flexión en ese lugar
y´ (0) = 0porque la curva de deflexión es tangente al eje x (en otras palabras, la pendiente de la curva de flexión es cero en ese punto).
Cuando x = L las condiciones del extremo libre son:
y´´ (L) = 0 porque el momento flexionante es cero
y´´´ (L) = 0 porque la fuerza cortante es cero.

Condiciones de frontera y continuidad para vigas sujetas a flexión
Se refieren a las deflexiones y pendientes en lospoyos de una viga: por ejemplo, en un apoyo simple, la deflexión es cero en un empotramiento, tanto la deflexión como la pendiente son cero y empotrada en ambos extremos de la viga. Cada una de las tales condiciones de frontera da una ecuación que puede usarse para evaluar las constantes de integración.
Para resolver una ecuación diferencial de segundo orden o mayor en la que la variabledependiente, y o sus derivadas estén especificadas en puntos distintos. Un ejemplo:

Sujeto a:
Se llama problema de valores de frontera. Los valores necesarios, y , se denominan condiciones en la frontera. Una solución del problema anterior es una función que satisface la ecuación diferencial de algún intervalo que contiene a , cuya grafica pasa por los dos puntos y
Por otro lado para las...