el estado venezolano y sus relaciones internacionales

2 El modelo de regresión simple: estimación y propiedades
Ezequiel Uriel
Universidad de Valencia
05-09-2012
2.1 Algunas definiciones en el modelo de regresión simple
2.1.1 El modelo de regresión poblacional y la función de regresión poblacional
2.1.2 La función de regresión muestral
2.2 Obtención de las estimaciones por Mínimos Cuadrados Ordinarios
2.2.1 Diferentes criterios de estimación2.2.2 Aplicación del criterio de mínimo cuadrados
2.3 Algunas características de los estimadores de MCO
2.3.1 Implicaciones algebraicas de la estimación
2.3.2 Descomposición de la varianza de y
2.3.3 Bondad del ajuste: Coeficiente de determinación (R2)
2.3.4 Regresión a través del origen
2.4 Las unidades de medida y la forma funcional
2.4.1 Unidades de medida
2.4.2 Forma funcional
2.5Supuestos y propiedades estadísticas de los MCO
2.5.1 Supuestos estadísticos del MLC (regresión lineal simple)
2.5.2 Propiedades deseables de los estimadores
2.5.3 Propiedades estadísticas de los estimadores MCO
Ejercicios
Anexo 2.1 Un caso de estudio: Curvas de Engel para la demanda de productos lácteos
Apéndices
Apéndice 2.1: Dos formas alternativas de expresar
Apéndice 2.2. Demostraciónde que

r R
2
xy

ˆ
1

2

1
1
3
4
4
5
7
7
9
9
11
12
12
13
19
19
21
23
27
34
40
40
41

Apéndice 2.3. Cambio proporcional versus cambio en logaritmos
41
Apéndice 2.4. Demostración de que los estimadores MCO son lineales e insesgados 42
Apéndice 2.5. Cálculo de la varianza de :

ˆ
1

43

Apéndice 2.6. Demostración del teorema de Gauss-Markov para lapendiente en la
regresión simple
43

2

Apéndice 2.7. Demostración de que  es un estimador insesgado de la varianza de las
perturbaciones
45
Apéndice 2.8. Consistencia de los estimadores de MCO
47
Apéndice 2.9 Estimación por máxima verosimilitud
48

2.1 Algunas definiciones en el modelo de regresión simple
2.1.1 El modelo de regresión poblacional y la función de regresión poblacionalEn el modelo de regresión simple, el modelo de regresión poblacional o,
simplemente, el modelo poblacional es el siguiente:
y   0  1 x  u

(2-1)

Vamos a ver los diferentes elementos del modelo (2-1) y la terminología
utilizada para designarlos. En primer lugar, en el modelo hay tres tipos de variables: y, x
y u. En este modelo el único un factor explícito para explicar y es x. Elresto de los
factores que afectan a y están recogidos en u.
Denominamos a y variable endógena (del griego: generada dentro) o variable
dependiente. Se utilizan también otras denominaciones para designar a y: variable

1

explicada o regresando. En este modelo todas estas denominaciones son equivalentes,
pero en otros modelos, como veremos más adelante, puede haber algunas diferencias.
Enla regresión lineal simple de y sobre x, a la variable x se le denomina variable
exógena (del griego: generado fuera de) o variable independiente. Otras
denominaciones utilizadas también para designar a x son: variable explicativa, regresor,
covariable o variable de control. Todas estas denominaciones son equivalentes, pero en
otros modelos, como veremos más adelante, puede haber algunasdiferencias.
La variable u recoge todos aquellos factores distintos de x que afectan a y. Es
denominada error o perturbación aleatoria. El término de perturbación puede captar
también el error de medición de la variable dependiente. La perturbación es una variable
no observable.
Los parámetros  0 y 1 son fijos y desconocidos.
En el segundo miembro de (2-1) se pueden distinguir dos componentes:un
componente sistemático  0  1 x y la perturbación aleatoria u. Llamando y al
componente sistemático, podemos escribir:

 y   0  1 x

(2-2)

Esta ecuación es conocida como la función de regresión poblacional (FRP) o
recta poblacional. Por lo tanto, como puede verse en la figura 2.1, y es una función
lineal de x con término independiente igual a  0 y pendiente igual a 1 ....