EL FASOR Y EL M TODO FASORIAL

EL FASOR Y EL MÉTODO FASORIAL
El desarrollo de las ecuaciones diferenciales que se presentan en un circuito eléctrico excitado con
un voltaje alterno senoidal, no deja de ser algo dispendioso, porque habría que aplicar las técnicas
de solución vistas en un curso de matemáticas. Pero sí utilizamos la identidad de Euler podremos
convertir la función trigonométrica en una función exponencial (Fasor)y convertir las ecuaciones
diferenciales en ecuaciones algebraicas, el proceso no sería tan dispendioso porque las ecuaciones
algebraicas son de fácil desarrollo (Método Fasorial)

IDENTIDAD DE EULER – EL NÚMERO COMPLEJO
La identidad de Euler establece que una función escrita en forma exponencial se puede expresar en
forma rectangular y a su vez en forma polar.

A ej(θ)

=

A Cos(θ) + j A Sen(θ)Forma exponencial

=

Forma rectangular

A ∟θ
Forma polar

Ejemplo numérico: Función exponencial
150 e j( 30°) = 150 e j( 0.5235 rad) = 150 Cos(30°) + j 150 Sen(30°)
= 150 Cos( ) + j 150 Sen( ) = 130 + j 75 = 150 ∟30°
Por lo tanto:
150 e j( 30°)

=

Forma exponencial

130 + j 75

=

Forma rectangular

150 ∟30°
Forma polar

Ejemplo numérico: Número complejo
5

5 ∟0°

=

= 5 e j 0°

10 ∟90° = 10 ej 90°

10 j =

1

0

0

1

5 + 10 j = 5 e j 0° + 10 e j 90° = (5Cos(0°) + j 5 Sen(0°)) + (10 Cos(90°) + j 10 Sen(90°)) = 5 + 10 j
5 + 10 j = A Cos(θ°) + j A Sen(θ°), comparando los miembros de la ecuación, resulta:
5 = A Cos(θ°) ,
=

10 = A Sen(θ°), Dividiendo las dos ecuaciones resulta:

; Tan(θ) = 2 ,

θ = Tan-1(2) = 63.43°

Por otro lado:
5 + 10 j = √

∟ Tan-1( ) = 5 √ ∟ 63.43° = 11.1803 ∟63.43°

17/09/2013 Página 1 de 8 Profesor: Luís Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS

REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIÓNES FORZANTES
La función trigonométrica del voltaje o de la corriente puede ser expresada mediante su
respectiva función exponencial, esto es:
v1 = VA Cos(wt+θ1) = Real( VA ej(wt+θ1) )

,

i1 = IA Cos(wt+θ2) = Real( IA ej(wt+θ2) )

Si mantenemos presente que la función trigonométricaes la parte real de la función
exponencial, podremos omitir la palabra real y trabajar con toda la función exponencial.
Lo anterior significa que la función forzante cosenoidal de voltaje v1 = VA Cos(wt+θ1),
estará representada por su respectiva función forzante exponencial de voltaje
VA ej(wt+θ1) = VA ejwt ejθ1
De esta forma, si necesitamos desarrollar un circuito excitado con la funciónforzante
cosenoidal, lo podremos desarrollar excitado con la función forzante exponencial y cuando
se halle el resultado de voltaje o de corriente en términos de la función exponencial,
regresamos a la función trigonométrica cosenoidal considerando solo la parte real de la
función resultado.
Conclusión:
Las funciones forzantes cosenoidales (expresión en el dominio del tiempo), tienen
representaciones ensus respectivas funciones exponenciales (expresión en el dominio del
tiempo), esto es:
v1 = VA Cos(wt+θ1)

v1 = VA ej(wt+θ1) =

VA ejwt ejθ1

i1 = IA Cos(wt+θ2)

i1 =

IA ej(wt+θ2) =

IA ejwt ejθ2

Ejemplo numérico:
Para el capacitor mostrado en la figura determine la corriente iC si el voltaje aplicado es:
vC = 50 Cos(500 t + 15°) v y la capacitancia es 0.1 mf
iC
vC
En el dominio del tiempo larelación entre el voltaje y la corriente para el capacitor es:
iC = C
Utilizando la función trigonométrica
iC = 0.1 x 10 -3

= 0.1 x 10-3 (50) (-500) Sen(500 t + 15°)

iC = - 2.5 Sen(500 t + 15°) = 2.5 Sen(500 t + 15° ± 180°)
iC = 2.5 Sen(500 t + 195°) = 2.5 Sen(500 t - 165°)
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iC = 2.5 Cos(500 t + 105°) = 2.5 Cos(500t - 255°)
Utilizando la función exponencial
Determinando la respectiva función exponencial:

vC = 50 Cos(500t+15°) = Real (50 ej(500t+15°) )
iC = 0.1 x 10 -3

= 0.1 x 10 -3 (50) e

ej90° ej15° ej500t =

iC =

vC = 50 ej500t ej15°

ej105° ej500t =

j15°

( j 500) ej500t =

j ej15° ej500t

ej (500t+105°) = 2.5 ej (500t+105°)

Por lo tanto, iC = Real(2.5 ej (500t+105°) ) = 2.5 Cos(500 t + 105°) =...