El limite, la derivada y sus aplicaciones

PRESENTACION

Nombre del Profesor: Ing. Rodolfo Aguirre
Materia: Calculo
Escuela: Centro de Bachillerato Tecnológico Industrial y de Servicios
Asunto: Trabajo de Investigación
Modalidad: Individual






INDICE
El limite y sus aplicaciones…………Pag 3-8
-funciones de variable real…………..3
-limites laterales…………………………4
-funciones en espacios métricos……5
-Unicidad dellimite…………………….6
-indeterminaciones, Regla de l'Hôpital y limites trigonométricos…………………………7
-demostraciones……………………….8
La derivada y sus aplicaciones……Pag 9-23
-derivadas laterales……………………11
-teoremas 2-9…………………………11-14
-tabla de derivadas usuales………..15-17
-derivada de una función inversa, derivada implícita………………………………….17
-curva lisa……………………………….19
-curva cerrada, curva simple……...20
-derivadas paramétricas………….20-derivada de orden superior……21

El limite de una función
El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c,independientemente de lo que ocurra en c.
Funciones de variable real
Si la función f tiene límite L en podemos decir de manera informal que la función f tiende hacia el límite L cerca c de si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como queramos de L haciendo que esté suficientemente cerca c de siendo x distinto de c.
Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Poresta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:
El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo existe un tal que para todo número real x en el dominio de la función.
Esto, escrito en notación formal:

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la quequeda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ.
No obstante, hay casos como por ejemplo la funciónde Dirichlet definida como:

donde no existe un número c para el cual exista . Por lo tanto, para demostrar la anterior afirmación es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.


Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Límites laterales
De manera similar, x puede aproximarse a c tomandovalores más grandes que éste (derecha):

o tomando valores más pequeños (izquierda), en cuyo caso los límites pueden ser escritos como:

Si los dos límites anteriores son iguales:

entonces L se pueden referir como el límite de f(x) en c. Dicho de otro modo, si estos no son iguales a L entonces el límite, como tal, no existe.


El límite cuando: x → x0+ ≠ x → x0-. Por lo tanto, el límitecuando x → x0 no existe
Funciones en espacios métricos
Existe otra manera definición de límite que tiene que ver con el concepto de bolas y entornos:
Supóngase f : (M, dM) → (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un punto límite de M y L∈N. Decimos que "el límite de f en c es L" y escribimos

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, c) < δ,tenemos dN(f(x), L) < ε.
En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f(x) en x = c es L si se cumple que para todo ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x:
si , entonces
De la desigualdad 0 < | x - c | < δ se obtiene lo siguiente:
1. x pertenece a la vecindad ( c - δ , c ) U ( c, c + δ ).
2. x no es igual a c, pues 0 < | x - c | implica x...