El Número E

El número e
Euler definió la constante matemática conocida como número  como aquel número real tal que el valor de la derivada (la pendiente de la línea tangente) de la función x en el punto  esexactamente 1. Es más, es el número real tal que la función x se tiene como derivada a sí misma. La función x es también llamada función exponencial y su función inversa es el logaritmo neperiano,también llamado logaritmo natural o logaritmo en base .
El número  puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, unafracción continua o comoel límite de una sucesión. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo, es como el límite:

y también como la serie:

Además, Euler es muy conocido por suanálisis y su frecuente utilización de la serie de potencias, es decir, la expresión de funciones como una suma infinita de términos como la siguiente:

Uno de los famosos logros de Euler fue eldescubrimiento de la expansión de series de potencias de la función arcotangente. Su atrevido, aunque, según los estándares modernos, técnicamente incorrecto uso de las series de potencias le permitieron resolverel famoso problema de Basilea en 1735, por el cual quedaba demostrado que:


Interpretación geométrica de la fórmula de Euler.
Euler introdujo el uso de la función exponencial y de los logaritmos enlas demostraciones analíticas. Descubrió formas para expresar varias funciones logarítmicas utilizando series de potencias, y definió con éxito logaritmos para números negativos y complejos,expandiendo enormemente el ámbito de la aplicación matemática de los logaritmos.24 También definió la función exponencial para números complejos, y descubrió su relación con las funciones trigonométricas. Paracualquier número real φ, la fórmula de Euler establece que la función exponencial compleja puede establecerse mediante la siguiente fórmula:

Siendo un caso especial de la fórmula (cuando  = ),...