EL OSCILIAZADOR FORZADO

El oscilador forzado

La amplitud de una oscilación amortiguada decrece con el tiempo. Al cabo de un cierto tiempo teóricamente infinito, el oscilador se detiene en el origen. Para mantener la oscilación es necesario aplicar una fuerza oscilante.

El oscilador forzado, o su equivalente el circuito LRC conectado a una fuente de corriente alterna es un ejemplo que nos permite estudiar condetalle las soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden.

Oscila_3.gif (2588 bytes)

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:

La fuerza que ejerce el muelle -k·x
La fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad λv y de sentido contrario a ésta
La fuerza oscilante F0·cos(ωf t) de frecuencia angular ωf
La ecuación del movimiento de la partícula es

ma=-kx-λv+F0·cos(ωf t)Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial que describe las oscilaciones forzadas

d2xdt2+2γdxdt+ω20x=F0m cos(ωft)  ω20=km  2γ=λm

donde ω0 es la frecuencia natural o propia del oscilador
ωf es la frecuencia angular de la fuerza oscilante de amplitud F
γ es la constante de amortiguamiento, γ> syms t w0 wf F x0 v0;
>>x=dsolve('D2x+w0^2*x=F*cos(wf*t)','x(0)=x0','Dx(0)=v0');
>> x=simplify(x)
x =(w0*(F*cos(t*w0) - F*cos(t*wf)) - v0*w0^2*sin(t*w0) +
v0*wf^2*sin(t*w0))/(w0*wf^2 - w0^3) + x0*cos(t*w0)
>> xx=subs(x,{w0 wf F x0 v0},{100 120 1 0 0});
>> ezplot(xx,[0 0.2*pi])


Obtenemos pulsaciones, suma de armónicos de dos frecuencias distintas

Cuando ω0=ωf

Cuando la frecuencia de la fuerza oscilante ωf se hace igual a la frecuencia propia deloscilador ω0, en el tercer término de la ecuación que nos da la posición x tenemos una ideterminación del tipo 0/0.

limωf→ω0⎛⎝cos(ωft)−cos(ω0t)ω20−ω2f⎞⎠=tsin(ω0t)2ω0x=x0cos(ω0t)+v0ω0sin(ω0t)+Fmtsin(ω0t)2ω0

>> syms w0 wf t;
>> limit((cos(wf*t)-cos(w0*t))/(w0^2-wf^2),wf,w0)
ans =(t*sin(t*w0))/(2*w0)
O bien, resovemos de nuevo la ecuación diferencial con ωf=ω0. Establecemos los siguientesvalores:

Coeficiente de rozamiento g=0;
Frecuencia angular propia y de la fuerza oscilante, w0=100 rad/s
>> syms w0 F x0 v0;
>> x=dsolve('D2x+w0^2*x=F*cos(w0*t)','x(0)=x0','Dx(0)=v0');
>> x=simplify(x)
x =x0*cos(t*w0) + (v0*sin(t*w0))/w0 + (F*t*sin(t*w0))/(2*w0)
>> xx=subs(x,{w0 F x0 v0},{100 1 0 0})
xx =(t*sin(100*t))/200
>> ezplot(xx,[0 0.3*pi])
>> title('Sin rozamiento')


Laamplitud crece linealmente sin límite

Rozamiento γ> syms wf w0 g F x0 v0;
>> x=dsolve('D2x+2*g*Dx+w0^2*x=F*cos(wf*t)','x(0)=0','Dx(0)=0');
>> x=simplify(x)
x =(F + (F*g)/(g^2 - w0^2)^(1/2))/(2*exp(t*(g + (g^2 - w0^2)^(1/2)))*
(2*g*(g^2 - w0^2)^(1/2) + 2*g^2 - w0^2 + wf^2)) - (F - (F*g)/(g^2 - w0^2)^(1/2))/
(2*exp(t*(g - (g^2 - w0^2)^(1/2)))*(2*g*(g^2 - w0^2)^(1/2) - 2*g^2 + w0^2 - wf^2))- (F*exp(g*t + t*(g^2 - w0^2)^(1/2))*(cos(t*wf)*(g + (g^2 - w0^2)^(1/2)) + wf*sin(t*wf)))
/(2*exp(t*(g + (g^2 - w0^2)^(1/2)))*(wf^2 + (g + (g^2 - w0^2)^(1/2))^2)*(g^2 - w0^2)^(1/2))
+ (F*exp(g*t - t*(g^2 - w0^2)^(1/2))*(wf*sin(t*wf) + cos(t*wf)*(g - (g^2 - w0^2)^(1/2))))
/(2*exp(t*(g - (g^2 - w0^2)^(1/2)))*(g^2 - w0^2)^(1/2)*((g - (g^2 - w0^2)^(1/2))^2 + wf^2))
Establecemos los siguientesvalores:

Coeficiente de rozamiento g=7;
Frecuencia angular propia, w0=100 rad/s y
Frecuencia de la fuerza oscilante, wf=120 rad/s
>> xx=subs(x,{g w0 wf F x0 v0},{7 100 120 1 0 0});
>> ezplot(xx,[0 0.3*pi])


Al cabo de un cierto tiempo (teóricamente infinito) el estado transitorio desaparece y la amplitud de la oscilación forzada tiende hacia un valor constante.

Cuando ω0=ωf

>> symsw0 g F x0 v0;
>> x=dsolve('D2x+2*g*Dx+w0^2*x=F*cos(w0*t)','x(0)=0','Dx(0)=0');
>> x=simplify(x)
x =-(w0^2*(F*g*exp(g*t)*exp(t*(g^2 - w0^2)^(1/2)) - (F*g*exp(g*t))/exp(t*(g^2 - w0^2)^(1/2)))
- 2*F*g*w0*exp(2*g*t)*sin(t*w0)*(g^2 - w0^2)^(1/2))/(4*w0^2*exp(2*g*t)*(g^2 - w0^2)^(3/2)
+ 4*w0^4*exp(2*g*t)*(g^2 - w0^2)^(1/2))
Establecemos los siguientes valores:

Coeficiente de rozamiento g=7;...