El Plano

EL PLANO

I. Ejercitación Básica:


Determinar la ecuación general y la segmentaria del plano obtenido en cada caso:

a) Pasa por el punto A (3; -6; 1) y es perpendicular al vector [pic];
b) Pasa por el punto A (3; -6; 1) y es perpendicular al vector [pic];
c) Contiene al punto A (3;-6;1) y es perpendicular al vector [pic];
d) Contiene al origen y es normal al vector [pic].

Conlos planos hallados en los ejercicios 1, determinar las trazas e intersecciones con los ejes coordenados. Graficar

Determinar la ecuación general y segmentaria del plano obtenido en cada caso. Graficar.
a) Pasa por A (3; -6; 1) y es perpendicular al vector [pic]
b) Contiene al punto A (3; -6; 1) y es perpendicular al vector [pic]

Determinar la ecuación del plano obtenido en cada caso:a) Pasa por P1 (-1; 2; 4) y es paralelo a [pic]) 2x - 3y - 5z + 6 = 0;
b) Pasa por los puntos P1 (2; 3; 5), P2 (6; 4; 3) y P3 (4; 6; 3).
Determinar sus trazas.
c) Pasa por P1 (-2; -1; 5) y es perpendicular a la recta determinada por
P2 (2; -1; 2) y P3 (3; 1; -2)
d) Es perpendicular en el punto medio al segmento que une los puntos
A (-2; 2; -3) y B (6; 4; 5)
e) Contienelos puntos P1 (2; 3; 5), P2 (6; 4; 15) y P3 (0; 0; 0).

Hallar la distancia entre:
a) A (1; -2; 3) y [pic]) 2x - 3y + 2z - 14 = 0
b) El punto de intersección de [pic]) 2x – y + 3z - 4 = 0 con el eje y y el plano [pic]
c) [pic]) 8x - 4y + z + 9 = 0 y [pic]) 8x - 4y + z - 36 = 0.

Calcular el ángulo que forman [pic]) x – y + z = 1 y [pic]) 2x + 3y – z = 2.

Demostrar que los planos [pic][pic]y [pic] tienen sólo un punto común. Hallarlo.

II. Ejercitación Complementaria:

Determinar la ecuación del plano obtenido en cada caso:
a) Pasa por A (3; -2; 4) y es perpendicular a [pic]) 7x - 3y + z = 5 y
[pic]) 4x – y – z + 9 = 0
b) Contiene al eje z y al punto A (3; 1; 5)
c) Es perpendicular al plano xy y contiene a A (2; -2; 11) y B (-7; -8; -3). Graficar.
d) Pasa porla intersección de [pic]) 3x + y - 2z + 2 = 0 y [pic]) x - 3y – z + 3 = 0 y es perpendicular al plano xz
e) Es paralelo a [pic]) 4x – 4y + 7z - 3 = 0 y dista 4 unidades de A (4; 1; -2)
f) Es paralelo a los vectores [pic] y pasa por
P (2; 5; 6)
g) Pasa por A (1; -1; 1) y por la recta de intersección de [pic]) x + 2y – z = 4 y
[pic]) 2x - 3y + z = 6

Hallar la ecuación del planocuya intersección con el eje x es L (2; 0; 0) y con el
eje y es M (0; 3; 0) y dista del origen 6/7.

Hallar los valores de k si:
a) [pic]) 2x + 3y + z = 1 y [pic]) 4x + k1y + k2z = 8 son paralelos
b) [pic]) 2x + 3y + z = 1 y [pic]) x - 4y + kz = 20 son perpendiculares
c) La distancia del origen al [pic]) 3x - 6y + kz + 14 = 0 es 2
d) [pic]) kx - 3y + kz = 22 pasa por A (3; -4; 2)e) [pic]) 2x + ky – kz + 7 = 0 es perpendicular a [pic]) 3x + 6y = 12

Hallar la ecuación del plano que pasa por A (1; 3; 0) y B (4; 0; 0) y forma un ángulo de 30º con [pic]) x + y + z = 1

Determinar la ecuación del plano que pasa por A (0; 0; 1) y es perpendicular al plano xz, y forma un ángulo cuyo coseno es 1/3 con el plano x + 2y + 2z = 5.

Hallar la ecuación del plano que pasa porla recta de intersección de [pic]) 2x-y+3z = 2 y [pic]) 4x+3y-z = 1, y es perpendicular a [pic]) 3x-4y-2z = 9

Hallar la ecuación del plano que sea paralelo al [pic]) 6x + 3y - 2z = 14 y equidistante de él y del origen.

Hallar la ecuación del plano que pasa por A (3; 1; -1), es perpendicular a
[pic]) 2x - 2y + z + 4 = 0 e intersecta al eje z en B(0; 0; -3).
Determinar la relación queexiste entre las componentes de un vector [pic] que sea coplanar con [pic]. ¿Qué conclusión se puede obtener de la relación encontrada?

Sea [pic]) 2x + y – z + d = 0
Obtenga el valor de d[pic] para que la proyección ortogonal del punto M (2; 4; 6) sobre el plano [pic]sea un punto M’ perteneciente al plano yz. Halle dicho punto M’.

Dados los planos [pic]) x + y - 1 = 0 y [pic]) 2x – z =...