el que quieras

IES Fco Ayala de Granada

Sobrantes de 2005 (Modelo 3) Solución

Germán-Jesús Rubio Luna

OPCIÓN A
EJERCICIO 1_A
a) (2 puntos) Dibuje el recinto definido por las siguientes inecuaciones:
x + 2y ≥ 6; x ≤ 10 – 2y; x/12 + y/3 ≥ 1; x ≥ 0;
b) (1 punto) Calcule el máximo y mínimo de la función F(x,y) = 4 - 3x - 6y en la región anterior e
indique en qué puntos alcanzan.
Solución
(a) y (b)Función Objetivo F(x,y) = 4 - 3x - 6y.
Restricciones:
Que son las desigualdades x + 2y ≥ 6; x ≤ 10 – 2y; x/12 + y/3 ≥ 1; x ≥ 0; y las transformamos en
igualdades, y ya son rectas, x + 2y ≥ 6; x ≤ 10 – 2y; x/12 + y/3 ≥ 1; x ≥ 0.
Para que nos sea más fácil dibujar las rectas (con dos valores es suficiente), despejamos las “y”, y tenemos
y = -x/2 + 3; y = -x/2 + 5; y = -x/4 + 3; x = 0;Representamos gráficamente las rectas que verifican estas igualdades, y el recinto en el cual estarán los
bordes del recinto delimitado por las inecuaciones dadas.

Calculamos los vértices del recinto resolviendo las ecuaciones de las rectas de dos en dos.
De x = 0 e y = -x/4+3, tenemos y = 3. Punto de corte es A(0,3).
De y = -x/4+3 e y = -x/2 + 5, tenemos -x/4+3 = -x/2 + 5, es decir -x+12 = -2x+20,luego x = 8 e y = 1, y el
punto de corte es B(8,1).
De x = 0 e y = -x/2+5, tenemos y = 5. Punto de corte es C(0,5).
Vemos que los vértices del recinto son: A(0,3), B(8,1) y C(0,5).
Calculemos los extremos de la función F(x,y) = 4 - 3x - 6y en dicha región.
El Teorema Fundamental de la Programación Lineal afirma que su máximo y mínimo absoluto están en la
región acotada, y que estos extremosdeben estar situados en algún vértice del recinto, por lo que
evaluamos F en los puntos anteriores A(0,3), B(8,1) y C(0,5). En el caso de que coincidan en dos vértices
consecutivos la solución es todo el segmento que los une.
F(0,3) = 4 – 3(0) – 6(3) = -14; F(8,1) = 4 – 3(8) – 6(1) = -26; F(0,5) = 4 – 3(0) – 6(5) = -26;
Teniendo en cuenta lo anterior vemos que el máximo absoluto de la funciónF en la región es -14 (el
valor mayor en los vértices) y se alcanza en el vértice A(0,3) y el mínimo absoluto de la función F en
la región es -26 (el valor menor en los vértices) y se alcanza en los vértices B(8,1) y C(0,5), por tanto
se alcanza en todos los puntos del segmento BC.

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Sobrantes de 2005 (Modelo 3) Solución

Germán-Jesús Rubio Luna

EJERCICIO2_A

 1
 x si x < 0

Sea la función f(x) = 
− 1 si x ≥ 0
 x

a) (1’5 puntos) Dibuje la gráfica de f y estudie su monotonía.
b) (0’75 puntos) Calcule el punto de la curva en el que la pendiente de la recta tangente es –1.
c) (0’75 puntos) Estudie la curvatura de la función.
Solución

1
si x < 0


Sea la función f(x) =  x
- 1 si x ≥ 0
 x

a)
Dibuje la gráfica def y estudie su monotonía.
Tanto 1/x como -1/x tienen por gráficas hipérbolas, por tanto conociendo sus asíntotas x = 0 (vertical A.V.),
y = 0 (horizontal A.H.), y dándole un valor a izquierda o derecha de la A.V. sabremos en que cuadrante
están.
Si x < 0, f(x) = 1/x.
Como lim f(x) = lim (1/x) = 1/-∞ = 0 , la recta y = 0 es una A.H. en -∞.
x →−∞

x →−∞

-

Como lim f(x) = lim (1/x) =1/0 = -∞, la recta x = 0 es una A.V. al la izquierda del 0.
x →0 −

x →−∞

Para x = -1, f(-1) = 1/-1 = -1, tenemos el punto (-1,-1) y la gráfica está en el III cuadrante.
Si x ≥ 0, f(x) = -1/x.
Como lim f(x) = lim (-1/x) = -1/∞ = 0 , la recta y = 0 es una A.H. en +∞.
x →+∞

x →+∞

+

Como lim f(x) = lim (-1/x) = -1/0 = -∞, la recta x = 0 es una A.V. a la derecha del 0.
x →0 +

x →0+

Para x = 1, f(1) = -1/1 = -1, tenemos el punto (1,-1) y la gráfica está en el IV cuadrante.
Teniendo en cuenta lo anterior la gráfica es:

Observando la gráfica f(x) es estrictamente decreciente (  ) en el intervalo (-∞,0) y es estrictamente
creciente (  ) en el intervalo (0,+∞).
b)
Calcule el punto de la curva en el que la pendiente de la recta tangente es –1.
Sabemos que la...