El teorema fundamental del calculo

Históricamente, los conceptos básicos de la integral definida fueron utilizados por los antiguos griegos, principalmente Arquímedes (287-212 a.C.), hace más de 2000 años. Eso ocurrió muchos añosantes de que fuese descubierto el Cálculo Diferencial en el siglo XVII cuando Newton y Leibniz, casi al mismo tiempo pero trabajando en forma independiente, mostraron cómo determinar el área de unaregión limitada por una curva o un conjunto de curvas aplicando la antiderivación para evaluar una integral definida. Este procedimiento condujo a los destacados teoremas considerando integrales definidasque tienen una variable como límite superior.

PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Sea f una función en el intervalo cerrado [a, b] y sea x cualquier número de [a, b]. Si F es la funcióndefinida por

F(x)=[pic]

Entonces

F(x)=f(x)

[pic]

(Si x=a, la derivada en F(x)=f(x) puede ser una derivada por la derecha, y si x=b, puede ser una derivada por la izquierda.)

DEMOSTRACIÓNConsidere dos números [pic] y [pic] + [pic] en [a, b]. Entonces

F ([pic])=[pic]

Y

F ([pic] + [pic]=[pic]

De modo que

* F ([pic] + [pic] - F[pic]) =[pic] - [pic]

[pic]+[pic] = [pic]

Entonces

[pic] - [pic] = [pic]

Al sustituir de esta ecuación en * se tiene

F ([pic] + [pic]) - F ([pic]) = [pic]

Por el teorema de valor medio para integrales, existealgún número e en el intervalo cerrado limitado por [pic] y [pic]+ [pic] tal que

[pic]

De esta ecuación y la anterior se obtiene

F ([pic] + [pic]) - F ([pic]) = [pic])

[pic]

Al tomar ellímite cuando [pic] se aproxima a 0 se tiene

[pic]

El miembro izquierdo de la ecuación anterior es F´ ([pic]). Para determinar [pic], recuerde que c está en el intervalo cerrado limitado por [pic] y[pic] + [pic], y como

[pic] = [pic] y [pic] + [pic]) = [pic]

Se deduce del teorema de estricción que [pic]. Debido a que f es continua en [pic], [pic]); por lo que [pic]), y...