Elementos De Combinatoria

ELEMENTOS DE COMBINATORIA
1-. INTRODUCCION
La combinatoria estudia las diferentes formas en que se pueden realizar la ordenación o agrupamiento de unos cuantos objetos siguiendo unas determinadas condiciones o reglas. Una forma de hacer estos recuentos es utilizar los diagramas en árbol. Estos recuentos están íntimamente relacionados con la probabilidad. 1.1 REGLA DE ADICION Si una primeratarea puede realizarse de m formas, mientras que una segunda tarea puede realizarse de n formas, y no es posible realizar ambas tarea de manera simultánea, entonces, para llevar a cabo cualquiera de ellas puede utilizarse cualquiera de m+n formas. Nótese que al decir que una ocurrencia particular, como una primera tarea, puede realizarse de m formas, se supone que estas m formas son distintas, a menosque se indique lo contrario. Ejemplos. a. La biblioteca del IEB tiene 40 libros de texto de Economía y tiene 50 de Administración. Por la regla de la suma, un estudiante del IEB puede elegir entre 40 + 50 =90 libros de texto para aprender acerca de alguno de estos dos temas. b. Un profesor de Economía tiene cinco libros de nivel introductorio acerca de Macroeconomía, Microeconomía, Administracióny Evaluación de Proyectos. Cuantos libros puede recomendar a un estudiante interesado en aprender algo relacionado con la economía? Como tiene 5 de cada uno y son 4 temas, entonces tiene 5+5+5+5 = 20 posibles libros para recomendar. c. En el lanzamiento de dos dados, ¿de cuantas formas se pueden obtener un siete o un ocho? Obtener un siete = A = { (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) }Obtener un ocho = B = { (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) } Entonces, A + B = 6 + 5 = 11 formas de obtener siete u ocho al lanzar dos dados. d. Consideremos el experimento de lanzar una moneda al aire tres veces. ¿De cuantas formas se puede obtener una, dos o tres caras? Una cara = A = { (C, +, +), (+, C, +), (+, +, C) } Dos caras = B = { (+, C, C), (C, +, C), (C, C, +) } Tres caras = C = {(C, C, C) } Entonces, A + B + C = 3 + 3 + 1 = 7 formas de obtener una, dos o tres caras al lanzar tres monedas.

Aplicaciones Estadística en los Negocios, I Semestre 2012 Prof. Eduardo Sepúlveda Ortega

1.2 REGLA DE LA MULTIPLICACION Si un procedimiento se puede descomponer en las etapas primera y segunda, y si existen m resultados posibles de la primera etapa y si, para uno de estosresultados, existe n resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento total se puede realizar en el orden dado, de m*n formas. Esta regla se conoce también como el principio de elección. Ejemplos a. Un titulado del IEB fue contratado por un Banco. Este estudiante debe escoger su AFP, dentro de 4 posibilidades (Capital, Cuprum, Próvida, Hábitat) y el plan de pensión asociado de entre 4opciones: Fondo A (riesgo 80 %), Fondo B (riesgo 60 %), Fondo C (riesgo 40 %) y Fondo D (riesgo 20 %). De cuantas formas puede escoger su plan? El estudiante puede escoger de 4*4 = 16 formas su plan de pensión. b. Extensiones: Fabricación de patentes de automóviles que constan de dos letras seguidas por cuatro dígitos. i) Si ninguna letra o digito se puede repetir, habrá 26*25*10*9*8*7 = 3276000patentes disponibles. ii) Si se permite repetir las letras y los dígitos, será posible tener 26*26*10*10*10*10 = 6760000 patentes diferentes. iii) Si se permiten las repeticiones, como en la parte (b) >cuantas patentes tendrán solamente vocales, y dígitos pares (0 es par)? c. Se dispone de una baraja de 40 cartas y se extraen 4 cartas por dos procedimientos: Sin devolución de la carta extraída, ycon devolución en cada extracción. 1ª carta = A, 2ª carta = B, 3ª carta = C, 4ª carta = D A · B · C · D = A · B · C · D = 40 · 39 · 38 · 37 = 2193360 A · B · C · D = A · B · C · D = 40 · 40 · 40 · 40 = 2560000 d. ¿Cuántos números naturales distintos existen entre 5000 y 10000 y tienen todas sus cifras diferentes? 1º dígito (5...9) = A, 2º dígito (0...9) = B, 3º dígito (0...9) = C, 4º dígito...