elipse

ELIPSE

DEFINICIÓN.
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, participantes de la propiedad relativa: que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

NOTACION Y ELEMENTOS.
F1 y F2: Focos de la elipse.
2a: Constante.
P: Punto cualquiera perteneciente a la elipse.

EJES DE LA ELIPSE.
El eje mayor, es la mayordistancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor , es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si.

PUNTOS DE UNA ELIPSE.
Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. Lasuma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor,
(PF1 + PF2 = 2a).















ELEMENTOS:

Focos: Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores:Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
Distancia focal: Es el segmento  de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
Eje mayor: Es el segmento  de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
Eje menor: Es el segmento  de longitud 2b, b es el valor del semiejemenor.
Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
Centro de simetría:Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.


ECUACIÓN.
Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:

Al quitardenominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:
Donde A y B tienen el mismo signo.

EJEMPLO.
Hallar la ecuación de la elipse de foco F (7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).



Dada la elipse de ecuación , hallar su centro, semiejes, vértices y focos.








PROPIEDADES.
1. EL eje mayor es igual a la cantidad constante 2a.
2. Los ejes se cortanen su punto medio.
3. La distancia de F1 a cualquier punto de la elipse y después a F2 debe ser constante.


4. La perpendicular de la elipse en cualquier punto es bisectriz del ángulo subentendido por F1,F2 en dicho punto.

5. Como las propagaciones son reversibles se reflejarán en la barrera, convergerán y pasarán a F1, se reflejarán en la barrera, convergerán y pasaránpor F2 y así sucesivamente.

APLICACIONES.
Entre las principales aplicaciones de las elipses están la primera Ley de Kepler, que habla sobre el movimiento de los planetas, ya que éstos siguen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol y la famosa Ley de la gravitación universal, descubierta por Newton debido a sus amplios conocimientos sobre la geometría de las elipses.
Laelipse tiene propiedades de reflexión semejantes a las de la parábola: si unimos cualquier punto P, de la elipse con sus focos, el ángulo que forman los radios focales con la tangente en ese punto son iguales. Esta propiedad se utiliza en la construcción de espejos (de luz y sonido), pues la emisión, de luz o sonido, desde uno de los focos se refleja en el otro foco.








HIPERBOLA.DEFINICION.
La hipérbola, se origina al cortar el cono con un plano que no pase por el vértice y cuyo ángulo de inclinación respecto aleje del cono es menor que el de la generatriz del cono.
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.




NOTACIÓN Y ELEMENTOS.
En toda hipérbola conviene considerar:

Y: Es el...