Elipse

Unidad 2 Lugares Geométricos
Sección 2.5 Elipse

Se llama Elipse al lugar geométrico de los puntos P(x, y) tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.



Para un punto P(x, y) cualquiera de la elipse la suma de sus distancias a los focos es 2a es decir:

que se reduce a

(a2 – c2)(x – h)2 + a2(y – k)2 = a2(a2 – c2)……..(1)

De la figuradeducimos lo siguiente , por definición

de elipse

, sustituyendo en (1) queda:

b2(x – h)2 + a2(y – k)2 = a2b2



Ecuación de la elipse cuando el eje mayor es paralelo al eje X, con centro C(h,k) y cuyos ejes mayor y menor tienen longitudes 2a y 2b respectivamente, en el caso de que el eje mayor sea paralelo al eje Y la ecuación de la elipse es:


En el caso que el centro C dela elipse este en el origen del plano coordenado h=0 y k = 0 quedando las ecuaciones de la elipse de la forma siguiente:

(Eje mayor coincide con el eje X)

(Eje mayor coincide con el eje Y)
Lado recto: es la longitud de la recta perpendicular al eje mayor y que pasa por los focos

Longitud del lado recto =
Excentricidad que se representa con la letra e, se define como el cociente dela semidistancia focal c entre el semieje mayor a, por lo cual podemos expresarla como: e = . Si e = 0 implica que c = 0, de la formula a2 – c2 = b2 tenemos que a = b, en cuyo caso la curva es una circunferencia, la que puede ser considerada como un caso especial de la elipse con excentricidad nula. Si e = 1 es evidente que a = c, de la formula a2 – c2 = b2 resulta que b = 0, en cuyo caso ladeformación ha sido total, convirtiéndose la curva en una línea recta, en consecuencia .

Ejemplos: 1. Determinar la longitud del eje mayor y del eje menor, las coordenadas de los focos (F y F’) y de los vértices (V, V’, B, B’) de la elipse con centro en el origen, dada por la ecuación: 9x2 + 16y2 = 144
Solución: Dividimos ambos miembros de la ecuación por 144 y simplificamos

Se trata deuna elipse horizontal ya que denominador de x es mayor que el denominador de Y, sus vértices son: V(4,0), V’(-4,0) y B(0,3), B’(0, -3) longitud del Eje mayor = 2a = 8, Longitud del Eje menor = 2b = 6.
Se sabe que b2 = a2 – c2  c2 = a2 – b2  c2 = 16 – 9  c siendo las coordenadas de los focos F(,0) y F’(,0).

2. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje Y, siuno de sus focos es el punto F(0,3) y la excentricidad es ½ , hallar las coordenadas del otro foco F’, las longitudes del eje mayor y menor, la ecuación de la elipse y la longitud de sus lados rectos.

Solución:

Como uno de los focos es F(0,3) tenemos que c = 3 otro foco será F’(0,-3), por otro lado se nos indica que e = ½ = , tenemos también que:
b2 = a2 – c2 = 36 – 9  , por tanto lalongitud del eje mayor es 2a = 12 la del eje menor = 2b = . La longitud de lado recto = , como el eje de la elipse es vertical y su centro esta en el origen la ecuación de la elipse es ,   la ecuación de la elipse es:
Adicionalmente calcularemos los vértices de esta elipse, como a = 6 y b =
Tenemos que V(0,6), V’(0,-6) y B(,0) , B’(-,0). Una grafica de esta elipse seria:


3.Determinar la ecuación de la elipse que tiene por vértices V(10,6), V’(-10,6) y la longitud del lado recto es 10.

Solución: el centro de esta elipse es de coordenadas C(h,k) y no coincide con el origen, además es el punto medio del segmento , por lo que las coordenadas del centro serán C(0,6) y a = 10, el eje mayor es horizontal, por lo que la forma de la ecuación esta dada por:



En esta ecuaciónconocemos a y las coordenadas del centro h y k, nos falta conocer b, la cual determinaremos usando la longitud del lado recto que nos dan, entonces tenemos:
LR = , finalmente sustituyendo en la ecuación de la elipse tenemos:

, que es la ecuación de la elipse buscada.

Ecuación general de la elipse:

Tomemos la ecuación de la elipse cuyo centro no es el origen y su eje mayor es paralelo...