Elipse

Tema: Elipse.
Pensamiento: Espacial y los sistemas geométricos.
Estándar: * Reconozco y describo curvas y o lugares geométricos.
* Identifico característica de localización de objetos geométricos en sistemas de representación cartesiana y otros (polares, cilíndricos y esféricos) y en particular de las curvas y fi guras cónicas.

* Describo y modelo fenómenos periódicos delmundo real usando relaciones.

Actividad para reconocer la elipse como un lugar geométrico.
Recorte un círculo de papel de cualquier radio e indique el centro del mismo.
Marque en el interior de dicho círculo un punto P que sea distinto de su centro O.
Doble el círculo de manera que la circunferencia pase por el punto P, como se
indica en la figura 1.
Realice varios dobleces, siemprehaciendo coincidir puntos de la circunferencia
con el punto P, hacer esto en variadas direcciones.

Una vez realizados estos dobleces la pregunta es: ¿Qué figura queda
delimitada por los mismos?
Se podría establecer la siguiente conjetura: Los dobleces realizados parecen delimitar una elipse cuyos focos son, a simple vista, los puntos O y P, el centro del círculo y el punto fijado en suinterior, respectivamente. Esto se muestra en la figura que se presenta a continuación.

Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de la elipse
* Focos: Son los puntos fijos F y F'.
* Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
* Eje secundario: Es la mediatriz del segmentoFF'.
* Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
* Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
* Distancia focal: Es el segmento  de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
* Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
* Eje mayor: Es el segmento  de longitud 2a, a esel valor del semieje mayor.
* Eje menor: Es el segmento  de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
* Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
* Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN

Para obtener la ecuación general de la elipse:F'P + PF = 2a
Aplicando la fórmula de la distancia

Para eliminar los radicales, trasladamos uno de ellos al segundo miembro de la igualdad

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad

Desarrollamos
x2 + 2xc + c2 + y2 = 4a2 - 4a  + x2 - 2xc + c2 + y2
Simplificamos
4a  = 4a2 - 4xc
Dividimos entre 4 ambos miembros de la igualdad e introducimos a al radical
 = a2 - xc
Volvemos aelevar al cuadrado para eliminar el radical
a2(x2 - 2xc + c2 + y2) = a4 - 2a2xc + x2c2
Reduciendo términos semejantes
a2x2 - x2c2 + a2y2 = a4 - a2c2
Factorizando
x2(a2 - c2) + a2y2 = a2(a2 - c2)
Dividiendo la igualdad entre el producto a2(a2 - c2)

Como a2 > c2 entonces a2 - c2 es positivo, podemos hacer a2 - c2 = b, por consiguiente, la ecuación de la elipse horizontal con centro en elorigen es:

Elipse vertical con centro en el origen.
Para obtener la ecuación general de la elipse:
F'P + PF = 2a
Aplicando la fórmula de la distancia

Para eliminar los radicales, trasladamos uno de ellos al segundo miembro de la igualdad

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad

Desarrollamos
y2 + 2yc + c2 + x2 = 4a2 - 4a  + y2 - 2yc + c2 + x2
Simplificamos
4a  = 4a2 -4yc
Dividimos entre 4 ambos miembros de la igualdad e introducimos a al radical
 = a2 - yc
Volvemos a elevar al cuadrado para eliminar el radical
a2(y2 - 2yc + c2 + x2) = a4 - 2a2yc + y2c2
Reduciendo términos semejantes
a2y2 - y2c2 + a2x2 = a4 - a2c2
Factorizando
y2(a2 - c2) + a2x2 = a2(a2 - c2)
Dividiendo la igualdad entre el producto a2(a2 - c2)

Como a2 > c2 entonces a2 - c2 es...