elipse

Ecuación de la elipse


Ecuación reducida de la elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focosson:

F'(-c, 0) y F(c, 0)
Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:



Ejemplo
Hallar los elementos característicos y laecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.



Semieje mayor

Semidistancia focal

Semieje menor

Ecuación reducida

Excentricidad




Ecuaciónreducida de eje vertical de la elipse

Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:
Las coordenadas de los focos son:
F'(0, -c) y F(0, c)
Ejemplo
Dada la ecuaciónreducida de la elipse , hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.








Ecuación de la elipse
Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paraleloa OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:





Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:Donde A y B tienen el mismo signo.


Ejemplos
Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).





Dada la elipse de ecuación , hallar su centro,semiejes, vértices y focos.









Ecuación de eje vertical de la elipse
Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y+c) yF'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será:



Ejercicios
Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.
1 2 









3 









4 











Halla la ecuación de la elipse conociendo:
1 




2 




3 




4 




Escribe la...