Elipse

MATEMÁTICA APLICADA

LA DERIVADA

LA DERIVADA
Recta tangente a una curva
y  f ( x) funcióncontinua
P(a, f (a)) punto de tangencia

mtan  ?

LA DERIVADA
Pendiente de la recta secante

msec

msec

cambio de y

cambio de x

f (a  x)  f (a)

a  x  a

msec

y

x

LA DERIVADA
Pendiente de la recta secante

LA DERIVADA
Pendiente de la recta tangenteSi x  0  Q  P  Q'  P
Recta secante  Recta tangente

msec  mtan
mtan
mtan

y
 lim
x 0 x

f (a  x)  f (a)
 lim
x 0
x

LA DERIVADA
Pendiente de la recta tangente

cursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Derivada_de_u

LA DERIVADA
Recta tangente a una curva

Ecuación punto-pendiente:

y  y0  m ( x  x0 )
P(a, f (a)) punto detangencia

mtan

f (a  x)  f (a)
 lim
x 0
x

LA DERIVADA
Recta tangente a una curva
Ejemplo 1:
Calcular la recta tangente a
mtan

y  x2

en x=1

f (a  x)  f (a)
(1  x) 2  12
1  2x  x 2  1
 lim
 lim
 lim
x 0
x
x 0
x
x 0
x

2x  x 2
x(2  x)
 lim (2  x)  2
 lim
 lim
x 0
x 0
x
x 0
x

 mtan  2



y

P(1, f(1))  (1,1)

y  1  2( x  1)

LA DERIVADA
Recta tangente a una curva
Ejemplo 2:
Calcular la recta tangente a
mtan

f ( x)  5x  6 en x  a

f (a  x)  f (a)
5(a  x)  6  (5a  6)
 lim
 lim
x 0
x 0
x
x
5x
5a  5x  6  5a  6
5
 lim
 lim
x 0 x
x 0
x

En todo punto se tiene que la pendiente es 5.

La tangente a una recta es la misma recta.LA DERIVADA
Recta tangente a una curva
Ejemplo 3:
Calcular la recta tangente a
mtan

f ( x)   x 2  6 x en (4, f (4))

 (4  x) 2  6(4  x)  (4 2  6(4))
f (4  x)  f (4)
 lim
 lim
x 0
x
x 0
x
 (16  8x  x 2 )  24  6x  16  24
 lim
x 0
x
 16  8x  x 2  24  6x  16  24
 2x  x 2
 lim
 lim
x 0
x 0
x
x

x(2  x)
lim (2  x)  2
x 0
x 0
x

 lim



mtan  2

LA DERIVADA
Recta tangente a una curva
mtan  2 y P(4,8)



y  8  2( x  4)


y  2 x  16

LA DERIVADA
Recta tangente vertical

y  f ( x)  3 x
en (0,0) l a tangentees vertical

y
l a pendienteno esta definida

LA DERIVADA
Puede no haber tangente
La grafica de una función f no tendrá tangente enx=a siempre que:
• f sea discontinua en x=a.

LA DERIVADA
Puede no haber tangente
La grafica de una función f no tendrá tangente en x=a siempre que:
• La grafica de f tenga una esquina en (a,f(a))

LA DERIVADA
Puede no haber tangente
Y podría no tener recta tangente en un punto en el cual la
gráfica tenga un pico o vértice.

LA DERIVADA
Razón de cambio
y
Razón media de cambio:x
y
Razón de cambio instantánea: lim
x 0 x

Ejemplo:
Velocidad media: vm 

distanciarecorrida s

tiempodel recorrido t

s
t 0 t

Velocidad en un instante ti : v(ti )  lim

LA DERIVADA
Función derivada

La función derivada de una función y=f(x) con respecto a x es:

f ( x  x)  f ( x)
f ' ( x)  lim
x 0
x

LA DERIVADA
Función derivada
2
Ejemplo 1: y f ( x)  x

( x  x) 2  x 2
x 2  2 x x  x 2  x 2
f ( x  x)  f ( x)
 lim
 lim
f ' ( x)  lim
x 0
x 0
x 0
x
x
x

x(2 x  x)
2 x x  x 2
 lim
 2x
 lim
x 0
x
x 0
x



 f ' ( x)  2 x

f ' (1)  2(1)  2

LA DERIVADA
Función derivada
Ejemplo 2: y  f ( x)  x 3
( x  x) 3  x 3
f ( x  x)  f ( x)
 lim
f ' ( x)  lim
x 0x 0
x
x
x 3  3 x 2 x  3 x x 2  x 3  x 3
3 x 2 x  3 x x 2  x 3
 lim
 lim
x 0
x 0
x
x
x(3x 2  3 x x  x 2 )
 lim
 3x 2
x 0
x

 f ' ( x)  3 x 2

LA DERIVADA
Función derivada
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x)  x 3
en x=1/2.
Si f ( x )  x 3 
Si f ' ( x)  3 x 2

f ' ( x)  3 x 2


f ' (1 / 2)  3(1 /...