Elipse

Elipse
Una elipse es una circunferencia aplastada.
Una circunferencia tiene un centro, pero una elipse tiene dos focos ("A" y "B" abajo).
Definición
Una elipse es el conjunto de todos los puntos de un plano cuya
suma de distancias a dos puntos fijos es una constante.
Así que, no importa dónde estés en la elipse, puedes sumar las distancias al punto "A" y al punto "B" y siempre saldrá lo mismo.(Los puntos "A" y "B" se llaman los focos de la elipse)

Dibújala
Clava dos clavos en un tablero, pon un lazo de cuerda alrededor de ellos, y pon un lápiz en el lazo. Tensa la cuerda para que forme un triángulo, y sigue la línea... habrás dibujado una elipse.
Una circunferencia es una elipse
En realidad una circunferencia es una elipse, donde los dos focos son el mismo punto (el centro). O sea, unacircunferencia es un "caso especial" de elipse.

Sección de un cono
También sale una elipse cuando cortas un cono (con un ángulo pequeño).
Por tanto, la elipse es una sección cónica (una sección de un cono).
Calculando

Área
El área de una elipse es π × r × s
(Si es una circunferencia, r y s son iguales, y sale π × r × r = πr2, ¡que es correcto!)
Aproximación al perímetro
Aunque parezca extraño,el perímetro de una elipse es muy difícil de calcular, así que he creado una página especial para ese tema: lee Perímetro de una elipse para ver los detalles.
Pero una aproximación sencilla que está a menos de 5% del valor correcto (siempre que r no sea más de 3 veces s) es la siguiente:

¡Recuerda, sólo es una aproximación!
Elementos de la elipse
Focos
Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal
Es larecta que pasa por los focos.
Eje secundario
Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
Distancia focal
Es el segmento  de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
Vértices
Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
Ejemayor
Es el segmento  de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
Eje menor
Es el segmento  de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
Centro de simetría
Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.


Relación entre la distancia focal y los semiejes
 


Excentricidadde la elipse
La excentricidad es un número que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.






















Ecuaciones de la elipse


Ecuación reducida de la elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) yF(c,0)
Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:



Ejemplo
Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.



Semieje mayor

Semidistancia focal

Semieje menor

Ecuación reducida

Excentricidad



Ecuación reducida de eje vertical de la elipse


Si el ejeprincipal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:

Las coordenadas de los focos son:
F'(0, -c) y F(o, c)
Ejemplo
Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.








Ecuación de la elipse
Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c,y0). Y la ecuación de la elipse será:





Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.


Ejemplos
Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).





Dada la elipse de ecuación , hallar su centro, semiejes, vértices y focos.









Ecuación de eje vertical de la elipse
Si...