Elipses Y Parabolas

Trabajo Práctico
De Matemática

Parábolas y Elipses



Introducción
Las parábolas aparecen en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Se puede apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis. En la curva que describe la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parabólica.

Es una cueva cerrada, la intersección de uncono circular recto, y un plano no paralelo a su base, el eje o algún elemento de el cono.

Otra definición de un elipse es, que el locus de los puntos por los cuales la suma de sus distancias de dos puntos determinados, es constante. Entre más pequeña sea la distancia de el foco, la excentricidad disminuirá y el elipse se parecerá más a un círculo. El eje menor es perpendicular al eje mayor porel centro en el punto en el que la distancia es igual del foco.

Parábolas |
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Cuando se dispara un proyectil en condiciones ideales, es decir, a una velocidad y una fuerza de gravedad constante, la curva que describe el mismo es parte de una curva llamada parábola. 

No hay que confundir la parábola con la catenaria, que es la curva que se forma cuando se tiene una cuerda con sus dosextremos fijados a dos puntos distintos de una pared, situados a la misma altura. Aunque ambas curvas son parecidas se construyen con expresiones matemáticas diferentes.  | |
Para estudiar las características de la parábola, es conveniente ubicarla en un sistema de coordenadas cartesianas. La figura siguiente tiene 2 elementos distinguidos que son: el eje y el vértice, que coincide en este casocon el origen de coordenadas. 

Pero los elementos que definen a esta parábola, es decir, los elementos de los cuales depende la forma específica de la parábola son: el foco y la recta directriz. |
La propiedad que debe cumplir cualquier punto  de la parábola es la siguiente: 

Distancia de  al foco = Distancia de  a la recta directriz.

Por ejemplo, si la ecuación de la recta directrizde una parábola es  y el foco tiene coordenadas (0,2), cualquier punto  del plano cartesiano que pertenezca a la parábola, debe cumplir lo siguiente:  | |

Distancia de  a (0,2) = Distancia de  a la recta  

Si se escribe esta igualdad en términos algebraicos, se obtiene: |
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Elevando al cuadrado ambos miembros:  |
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Esta última expresión algebraica es la ecuación canónica dela parábola con foco en el punto (0,2) y recta directriz . 
Es decir, si  es un punto del plano tal que:entonces  es un punto de esa parábola, mientras que si , no lo es.  |
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En general, cualquier parábola con vértice en el punto  y recta directriz dada por la ecuación  tiene la siguiente ecuación canónica:Las coordenadas del foco, en este caso, son: . 
Por ejemplo, la parábola con foco enel punto  y vértice en el origen de coordenadas, debe tener como recta directriz a la recta cuya ecuación es . |
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La ecuación canónica de esta parábola es, entonces:    ó |
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Es bueno observar que cualquier ecuación equivalente a la anterior es también una ecuación de la parábola mencionada.

 Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones de la misma parábola: |

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Pero laecuación canónica es . Si una parábola tiene su vértice en el punto  pero su foco sobre el eje de las abscisas, entonces su ecuación canónica es: |
Aquí, se tiene:  Foco: | |
Directriz: | |
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Ecuación canónica: | |
Directriz: | |
Foco: | |
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Las parábolas con eje paralelo al eje de las ordenadas tienen una ecuación canónica de la forma: Aquí, el vérticeestá en el punto  y la recta directriz es la recta . |
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La ecuación general de una parábola, tiene la forma:ó(El primero de los casos ocurre cuando se trata de una parábola con eje paralelo al eje de las abscisas, y el segundo, cuando el eje es paralelo al eje de las ordenadas).
 Es muy útil encontrar la ecuación canónica de una parábola, a partir de su ecuación general, para determinar las...