Energia Cinetica

´ Tema 11: ENERG´ CINETICA Y TRABAJO IA
La ley de Newton relaciona la aceleraci´n de una part´ o ıcula con la fuerza total sobre ella. Le permite as´ a uno inferir c´mo cambian la velocidad y la posici´n de una part´ ı o o ıcula. Sin embargo, en lugar de estar principalmente interesado en el tiempo, puede que uno solo quiera saber c´mo est´ relacionada la velocidad de la part´ o a ıcula con suposici´n. Por ejemplo, o puede que uno no est´ interesado en cu´nto tiempo se requiere para que una bola caiga una cierta e a distancia. En vez de eso, tal vezuno s´lo desea saber la velocidad de la bola luego de recorrer esta o distancia. ¿C´mo puede entonces usarse la ley de Newton para relacionar directamente la velocidad o y la posici´n de una part´ o ıcula, sin una menci´n expl´ o ıcita deltiempo? Planteando esta pregunta, el presente Tema llevar´ a algunos conceptos nuevos y relaciones a extremadamente utiles para explicar o predecir el movimiento de los objetos. ´

1.

´ ˜ LEY DE LA ENERG´ CINETICA PARA PEQUENOS IA DESPLAZAMIENTOS

Considere una part´ ıcula que se mueve bajo la influencia de fuerzas debidas a otros objetos. (Por ejemplo, la part´ ıcula puede ser una pelota comose ilustra en la Fig. 1, la cual se mueve a lo largo de una trayectoria curva mientras es afectada por la fuerza gravitacional debida a la tierra).

La ley de Newton ma = Ftot relaciona la aceleraci´n de esa part´ o ıcula con la fuerza total sobre ella. Ya que la aceleraci´n a es s´lo la tasa de cambio de la velocidad con el tiempo, la ley de Newton o o afirma que dv m = Ftot (1) dt pero por sudefinici´n, la velocidad v es justamente la tasa de cambio de la posici´n con el tiempo o o t, esto es, dr (2) v= dt donde dr es el peque˜o desplazamiento de la part´ n ıcula durante el peque˜o intervalo de tiempo dt . n

1

Las relaciones (1) y (2) involucran ambas el peque˜o intervalo de tiempo dt. De ah´ que deba ser n ı posible combinar estas relaciones de modo que pueda elimarse dt, y as´encontrar una ecuaci´n que ı o relacione directamente la velocidad v y la posici´n r. La unica dificultad es el algebra requerida o ´ ´ para manejar las operaciones vectoriales en las relaciones (1) y (2). Pero esta dificultad puede superarse expresando estas relaciones en t´rminos de sus componentes num´ricas a lo largo de e e direcciones convenientes.

1.1.

Relacionando la velocidad y laposici´n o

Expresemos entonces todos los vectores en t´rminos de sus componentes a lo largo de la fuerza e total y perpendicular a ella. Componentes de la ley de Newton. A lo largo de la direcci´n de esta fuerza total, la ley de Newton implica que o m dvF = Ftot dt (3)

aqu´ vF denota la componente de la velocidad de la part´ ı ıcula a lo largo de la fuerza total. M´s a a´n, la componente de lafuerza total a lo largo de ella misma es simplemente su magnitud Ftot . u En una direcci´n perpendicualar a la fuerza total, la ley de Newton implica que o dv⊥ =0 dt (4)

puesto que la componente de la fuerza total, perpendicular a ella misma, es cero. Esta relaci´n o muestra que la part´ ıcula no tiene aceleraci´n perpendicular a la fuerza total. De ah´ que la como ı ponente v⊥ de la velocidadde la part´ ıcual, perpendicular a la fuerza total, permanece sin cambio durante cualquier peque˜o tiempo dt, es decir, n v⊥ = constante (durante dt) Componentes de la definici´n de velocidad o De manera similar, la definici´n de velocidad (2) implica una relaci´n correspondiente para las o o componentes de los vectores a lo largo de la fuerza total. As´ ı vF = drF dt (5)

donde drF es lacomponente (a lo largo de la fuerza total) del peque˜o desplazamiento de la n part´ ıcula durante el peque˜o intervalo de tiempo dt. n Eliminaci´n del tiempo o El intervalo de tiempo puede ahora eliminarse f´cilmente combinando las ecuaciones por coma ponentes (3) y (5). Por ejemplo, esto puede hacerse multiplicando los lados correspondientes de estas ecuaciones. As´ uno obtiene ı dvF drF = Ftot mvF dt...