Enotro moomneto

Optimización
Asesor:

Alfredo Huerta Durán
October 22, 2011

Sugerencias útiles.
a) Desarrolle una actitud positiva y analítica. Lea el problema lentamente.
b) Cuando sea necesario, dibuje una ilustración.
c) Introduzca variables y fíjeseen toda relación que exista entre ellas.
d) Utilizando todas las variables necesarias, establezca una función que deba ser maximizada o minimizada. Sise usa
más de una variable, entonces emplee una relación entre ellas para reducir la función a una variable.
e) Haga notar el intervalo en el cual la función está denida. Determine todos los valores críticos.
d) Si la función que va a ser maximizada o minimizada es continua y denida en un intervalo cerrado [a, b], entonces
pruebe si hay extremos en las fronteras. Si el extremo deseado noocurre en la frontera, debe ocurrir en un valor crítico
dentro del intervalo abierto (a, b).
f) Si la función que va a ser maximizada o minimizada está denida en un intervalo que no es cerrado, entonces debe
emplearse un criterio de derivada en cada valor crítico.
Ejemplos.

Ejemplo 1.

Determinar dos números no negativos cuya suma sea 15 tales que el producto de uno con el cuadrado
delotro sea máximo.
a) No es posible hacer un dibujo o esquema.
b) Denótese por x y los dos números no negativos; esto es x ≥ 0 & y ≥ 0. Nótese que está dado que:

x + y = 15
c) Denotamos por P el producto:

P = x y2
Entonces:

x + y = 15

=⇒ y = 15 − x

para expresar P sólo en términos de x:

P (x) = x (15 − x)2
d) La función P (x) está denida solamente para 0 ≤ x ≤ 15, puesto que, six > 15,
entonces y = 15 − x sería negativo, contrario a las condiciones dadas.
Ahora bien, por la regla del producto:

P (x) = (2x) (15 − x) (−1) + (15 − x)2 = 0

P (x) = (15 − x) (15 − 3x) = 0
Así que el único valor crítico en (0, 15) es x = 5.
e) La prueba en los puntos frontera del intervalo revela que P (0) = P (15) = 0 es el valor mínimo del producto.
Por consiguiente, P (5) =5(10)2 = 500 debe ser el valor máximo. Los dos números no negativos son 5 y 10.

Ejemplo 2. Se desea hacer un corral de forma rectangular con 100 m de malla, para encerrar algunos pollos,
¾cuál deben ser las dimensiones del corral para cubrir el área máxima?

En primer lugar dibujaremos la situación que se nos plantea. Si x representa el ancho & y representa el largo, tendríamos
que el perímetroes de 2x + 2y , como sólo contamos con 100 m de mall, entonces este perímetro deb ser igual a 100: es
decir:

2x + 2y = 100
Expresamos a y en términos de x, para trabajar con una sola variable, por lo que

2x + 2y = 100
2y = 100 − 2x
y=

100 − 2x
2

y = 50x
El área de un rectángulo es base por altura por lo que el área deseada puede expresarse como:

A = xy
Puesto que yexpresado en términos de x es (50x)

A = x (50x)
Y puede escribirse

A = 50xx2
El área en función del ancho es

A(x) = 50xx2
Como es una función cuadrática, los resultados se comportan grácamente como una parábola. Esto signica que tiene
un valor máximo que se obtiene con el vértice, y es precisamente lo que necesitamos saber.
El x del vértice se obtiene mediante el eje de simetría:x=−

b
2a

50
En este caso x = − (2)(−1) = 25
Esto signica que el área máxima se obtiene cuando el largo es 25, y la longitud del ancho la determinamos por la
formula y = 50x.

y = 5025 = 25
Por consiguiente la gura que con un perímetro de 100 m encierra el área máxima es un cuadrado de 25 m de lado y
el área máxima es de 625 m2 .

Ejemplo 3.

Tiro parabólico. Alcanse vs Ángulo.El movimiento de vuelo libre de un proyectil se estudia en términos de sus componentes rectangulares, dado que la
aceleración del proyectil siempre actúa en dirección vertical. Para el análisis del movimiento se hacen dos suposiciones:
m
i) La aceleración de caída libre (aceleración de la gravedad: g = 9.81 s2 es constante en todo el intervalo de movimiento y
está dirigidahacia abajo....