ensamble de matriz de rigidez



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Unidad 4



Ensamble de la matriz de rigidez de una estructura


Objetivo
Enseñar a ensamblar la matriz de rigidez total de una estructura.



Síntesis
La matriz de rigidez de una estructura es de tamaño nxn, donde n es el número de grados de libertad. Esta matriz se obtiene al sumar las matrices de rigidez de todos los miembros,
previamente transformadas a coordenadaslocales y expandidas al tamaño nxn.


El llamado método de la rigidez usa las propiedades de rigidez de los miembros que componen una estructura para formar un sistema de ecuaciones simultáneas que relacionan los desplazamientos de una estructura con las cargas que actúan sobre la misma. El sistema es de la forma:


Q = KD
Ecuación 4.1


Donde:


Q = vector columna de las cargasexternas. K = matriz de rigidez de la estructura.
D = vector columna de los desplazamientos externos.


Los desplazamientos correspondientes a un sistema dado de cargas externas se obtienen al resolver el conjunto de ecuaciones simultáneas. A su vez, las fuerzas internas en los miembros de la estructura se obtienen a partir de los desplazamientos calculados y de las propiedades derigidez de cada miembro. El método de la rigidez puede usarse para el análisis de una gran variedad estructuras, aún las más grandes y complejas.


En este capítulo se mostrará cómo ensamblar la matriz de rigidez K de una estructura. El
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primer paso que se debe dar es expresar las matrices de rigidez de los miembros en

coordenadas globales.



Transformación de la matriz de rigidez deun miembro de coordenadas locales a globales


Las matrices de rigidez de miembros vistas en la Unidad 2 relacionan las fuerzas con los desplazamientos en las que tanto las primeras como los últimos están expresados en coordenadas locales, es decir, en un sistema de referencia orientado como lo está el miembro estructural (Ecuaciones 2.3, 2,5, 2.6, 2.8, 2.9 y 2.10).



Estasecuaciones
se pueden expresar
genéricamente así
{ } [ ] { }
Ecuación 2.3

{ } [ ]
{ }
Ecuación 2.5

{ } [ ]
{ }
Ecuación 2.6
{ } [ ] { }
Ecuación 2.8
⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
{ } [ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ] { }
Ecuación 2.9







Donde:

q= vector columna de las fuerzas internas en coordenadas
locales.


= matriz de rigidez del miembro encoordenadas
locales.

d = vector columna de los desplazamientos en coordenadas locales.


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⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
{ } [ ⁄

⁄
⁄
⁄ ⁄
⁄
⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄ ]
{ }

Ecuación 2.10




Para efectos de obtener una matriz de rigidez general de la estructura es necesario que todas y cada una de las matrices de rigidez de sus miembros se expresen en coordenadas globales, es decir, enun sistema de referencia único para toda la estructura. La forma de estas
ecuaciones transformadas es:





Donde:


Q = vector columna de las fuerzas internas en coordenadas globales. k = matriz de rigidez del miembro en coordenadas globales.
D = vector columna de los desplazamientos en coordenadas globales.


La transformación de la matriz de rigidez de un miembro de coordenadaslocales a globales (k) puede lograrse con la matriz de transformación de desplazamientos A.


Reemplazando la Ecuación 3.1 en la Ecuación 4.1 se tiene:







Ahora bien, puesto que los vectores de fuerza y desplazamiento en cada caso tienen la misma orientación y sentido, la matriz de transformación de desplazamientos A, también relaciona los vectores de fuerzas expresados en ambossistemas de coordenadas, es decir:


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Donde:


Vector de fuerzas en coordenadas locales

Vector de fuerzas en coordenadas globales

A = Matriz de transformación de desplazamientos



Además, en todos los casos se verifica que A es una matriz ortogonal, es decir una en la que la transpuesta (AT) es igual la inversa (A-1), y por lo tanto de la Ecuación 4.4 puede decirse que:...